Conjunto
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Un conjunto es una agrupacióny5, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones).[1] Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso .
Contenido |
[editar] Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.
- Determinación de un conjunto por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejemplo. - El conjunto de los números naturales menores que 9.
- Determinación de un conjunto por comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.
Ejemplo. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.
Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos. Las aplicaciones de teoría de conjuntos es muy amplia, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con Probabilidad; incluso, sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.
[editar] Representación de un conjunto
Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:
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| A es Subconjunto de B |
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| Unión de A y B |
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| Intersección de A y B |
Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.
Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.
La unión de una colección de conjuntos: 
es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos 
y se representa: 
La intersección de una colección de conjuntos: 
, es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos: 
y se representa: 
los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario,conjunto finito,conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:
- Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
- Los números enteros
- Los números racionales
- Los números reales, que incluyen a los números irracionales
- Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0.
La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.
[editar] Relaciones entre conjuntos
Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo f entre dos objetos, digamos X, Y, en un tipo de relación entre X,Y dirigida i.e. un subconjuto del producto cartesiano de X con Y, en símbolos:
y ésta es una aplicación entre los conjuntos.
[editar] Véase también
- Axiomas de Zermelo-Fraenkel
- Relación matemática
- Correspondencia matemática
- Conjunto de Borel
- Diagrama de Venn
- Estructura algebraica
- Función matemática
- Georg Cantor
- Mapeo
- Morfismo
- Teoría de conjuntos
[editar] Notas
- ↑ No existe ninguna definición enteramente satisfactoria (excepto el subterfugio de definir un conjunto como cualquier objeto que verifique la axiomática de Zermelo-Fraenkel)
