En álgebra lineal, una matriz cuadrada
se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma
donde
es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de
y
es una matriz diagonal formada por los valores propios de
.
Si la matriz
es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como
. El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de
son los vectores columnas de P.
Sea
una matriz cuadrada con valores en un cuerpo
, se dice que la matriz
es diagonalizable si y sólo si
se puede descomponer de la forma:
![{\displaystyle A=PDP^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb65274012f2c5751a348bd334c9cd347b5d1ea)
donde:
es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de
, apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo
el espectro de
, es decir, el conjunto de autovalores de la matriz
:
![{\displaystyle \sigma (A)={\big \{}\lambda _{i}\in \mathbb {K} \;|Av=\lambda _{i}v\quad \forall \;i=1,2,...,n{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdef4eedf4a21deaf41c86525556b21c341d2658)
es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada
siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz
:
![{\displaystyle P=(v_{1}|v_{2}|\cdots |v_{n}),\quad v_{j}\in \ker(A-\lambda _{i}I_{n})\quad \forall \;i,j=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ba5e02009ec8db0ac3e8baaa5a2c7fb49a10ae)
Endomorfismo diagonalizable
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Un endomorfismo de espacio vectorial (aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo) se dice diagonalizable por similitud (o simplemente diagonalizable) si existe una base en la que su matriz asociada sea una matriz diagonal. Sin embargo la diagonalización no está asegurada, es decir no es posible decir que todo endomorfismo sea diagonalizable. La importancia de la diagonalización nos motiva a obtener una base en la que la matriz asociada a un endomorfismo no diagonalizable sea más simple aunque no diagonal. Para ello se seguirán las mismas técnicas que para diagonalización, usando la teoría sobre autovalores y autovectores (también llamados valores y vectores propios o en inglés eigenvalues y eigenvectors).
Recordemos que dado un operador lineal
se dice que W subespacio de V es T-invariante si
se tiene que
Potencias de una matriz
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Diagonalizar una matriz nos ayuda a calcular potencias de una matriz
, si
entonces
![{\displaystyle A^{n}=PD^{n}P^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59309d97a3d9ceb6b1e287c7994629fd190e111)
para ver la validez de este resultado, considere
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}&=PDP^{-1}PDP^{-1}\\&=PDI_{2}DP^{-1}\\&=PD^{2}P^{-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c03eedfb0e2ae89250c139edf6dd46c101ef83b)
donde
denota la matriz identidad de tamaño
, de forma similar se puede demostrar que
.
Como
es una matriz diagonal entonces el cálculo de la
-ésima potencia es muy sencillo pues si
![{\displaystyle D={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\dots &0\\0&a_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd54cb456afde5822066bbb0f64b7c605aaf27b)
entonces
![{\displaystyle D^{n}={\begin{pmatrix}a_{1}^{n}&0&\dots &0\\0&a_{2}^{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &a_{n}^{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d11a72b559123dfcda08ed1e5aaf7ae974fed95)
Diagonalización de una matriz
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Una matriz es diagonalizable si es cuadrada y la multiplicidad (las veces que aparece el valor propio en el polinomio característico si es posible factorizarlo como producto de binomios lineales) de los valores propios es igual a la dimensión del espacio propio que definen.
"Diagonalizar una matriz" se reduce a encontrar sus vectores y valores propios. Tomemos la matriz:
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6879c8f19d2ffc7df01299c2893855733dab783)
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(A-\lambda I_{n})\\&={\begin{vmatrix}1-\lambda &2\\3&2-\lambda \end{vmatrix}}\\&=(1-\lambda )(2-\lambda )-6\\&=\lambda ^{2}-3\lambda -4\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0842eb47507506ca8e20efc2b59a89a5f17deef0)
Se aplica el teorema de Cayley-Hamilton:
![{\displaystyle p(A)=0\Longrightarrow A^{2}-3A-4I_{2}=0\Longrightarrow A^{2}=3A+4I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c60accdad68b060868e45031da5e10e84aee914)
Por ejemplo, vamos a calcular
para ver si se cumple:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}^{2}=3{\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}7&6\\9&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&6\\9&10\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15c315c113e93fe29428ba8289d16798726789b)
y veamos que es diagonalizable:
- Esta matriz tiene los valores propios:
![{\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \lambda _{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a308a6cc4a4b858eb248e19d16cf5d0c9198bf3)
- Así
es una matriz 2 por 2 con 2 valores propios diferentes, entonces se dice que es diagonizable. Si queremos diagonalizar
necesitamos calcular los correspondientes vectores propios. Ellos son:
![{\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a69b946b275fc484c4e3ca5a2887335c10d128)
Uno podría verificar fácilmente esto mediante:
![{\displaystyle \mathbf {Av} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cc10394df9e1d6328c12a2d261efb7be9bdad6)
![{\displaystyle (A-\lambda _{1}I_{2})V_{1}=0\wedge (A-\lambda _{2}I_{2})V_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63157b1c3561f86cf271ec3ddb8264d05966a4d)
- Ahora,
es la matriz invertible con los vectores propios de
como columnas:
con inversa ![{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74074b5e8b056c732e4caebf3aa9662ca12a39f7)
- Hallemos ahora la matriz diagonal, usando esta matriz
como sigue:
- Realizamos el cálculo introduciendo los datos:
![{\displaystyle D={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-3}{5}}&{\frac {2}{5}}\\{\frac {4}{5}}&{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&4\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede967148382a10c1e271f1edac58f12c3cf70c)
- Luego resulta que existen matrices
y
tales que
cumpliendo
y
los requisitos pedidos al principio, y por tanto la matriz
es diagonalizable.
Potencias de una matriz diagonalizable
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Podemos calcular, por ejemplo, la séptima potencia de la matriz anterior:
![{\displaystyle A^{7}=PD^{7}P^{-1}={\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1^{7}&0\\0&4^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-3+2\cdot 4^{7}}{5}}&{\frac {2+2\cdot 4^{7}}{5}}\\{\frac {3+3\cdot 4^{7}}{5}}&{\frac {-2+3\cdot 4^{7}}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6553&6554\\9831&9830\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589acc3480bea916888da6dcf4e9cec4aaf15e2c)
Para todo
se cumple:
![{\displaystyle A=PDP^{-1}\Longrightarrow A^{n}=PD^{n}P^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911ace9c7f9573df10bc0c975388150c70d0759)
Por tanto, para el ejemplo anterior:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&4\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3/5&-2/5\\1/5&1/5\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(-1)^{n}&0\\0&4^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3/5&-2/5\\1/5&1/5\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a44935518b9316d3d5e9ca95a482dea5d739157)
![{\displaystyle A^{n}={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3(-1)^{n}+2\cdot 4^{n}&-2(-1)^{n}+2\cdot 4^{n}\\-3(-1)^{n}+3\cdot 4^{n}&2(-1)^{n}+3\cdot 4^{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cf3dcede62a34a6055856df9ab1f40e6e88f20)
Función de una matriz diagonalizable
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No sólo pueden calcularse, potencias de una matriz, sino cualquier función que esté definida sobre el espectro de la matriz. Por ejemplo puede calcularse la exponencial de la matriz anterior como:
Matrices no diagonalizables
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No todas las matrices cuadradas son diagonalizables, pero existen procedimientos similares para hallar matrices
invertibles y matrices
diagonales a bloques de tal modo que
ofreciendo también soluciones o atajos para resolver los problemas que requieren de la diagonalización de una matriz (ver Forma canónica de Jordan).
Teoremas sobre matrices diagonalizables
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- Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus valores propios son reales.
- Dadas dos matrices diagonalizables A y B, son conmutables (AB = BA) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).
- Toda matriz A de dimensión n y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de
formada por vectores propios de A .
- Ejemplos y ejercicios de diagonalización de matrices: Matesfacil