Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!$ y ${\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función $F(x,y)$ tal que:

$dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!$

donde ${\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!$ y ${\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!$.

Dado que $F(x,y)$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!$.

Método de resolución

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

$F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!$

• Para despejar la función g se deriva $F(x,y)\,\!$ con respecto a la variable dependiente de g.

${\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!$

${\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de $F(x,y)$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

$N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!$

$g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!$

$M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!$

$g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general $F(x,y)\,\!$.

$F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!$

$F(x,y)=\int N\,dy+\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!$

Factor integrante

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial $\mu (x,y)\,\!$ llamada factor integrante, tal que:

$\mu (x,y)M(x,y)\,dx+\mu (x,y)N(x,y)\,dy=0\,\!$ sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x)\,\!$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!$

Cabe decir que para que $\mu (x)$ exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro ${\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}$ tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que $M_{y}$ y $N_{x}$ equivalen a las parciales de estas; ${\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}$ y ${\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}$ respectivamente).

Ejemplo: $(3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})dx+(x^{3}+10y)dy=0$, entonces ${\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}=1$ y por lo tanto $\mu (x)=e^{x}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$(3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})e^{x}dx+(x^{3}+10y)e^{x}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=(x^{3}y+5y^{2})e^{x}=c$

Factor integrante sólo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (y)\,\!$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!$

Ejemplo: $(3x^{2}y+y^{2})dx+(y^{2}-x^{3})dy=0$, entonces ${\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}={\frac {-2}{y}}$ y por lo tanto $\mu (y)={\frac {1}{y^{2}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$\left(1+3{\frac {x^{2}}{y}}\right)dx+\left(1-{\frac {x^{3}}{y^{2}}}\right)dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=x+y+{\frac {x^{3}}{y}}=c$

Factor integrante sólo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x+y)\,\!$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (x+y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}\,dz}\,\!$ Con $z=x+y$

Ejemplo: $(3xy-y^{2})dx+(x^{2}-4y^{2}+xy)dy=0$, entonces ${\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}={\frac {1}{x+y}}$ y por lo tanto $\mu (x+y)=x+y$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$[(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=(x+y)^{2}(xy-y^{2})=c$

Factor integrante sólo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu ({x}{y})\,\!$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (xy)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*y-M*x}}\,dz}\,\!$ Con $z=x\cdot y$

Donde $M*x=$ M·x

Cabe mencionar que:

$M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!$

Ejemplo: $(y+x^{3}y+2x^{2})dx+(x+4xy^{4}+8y^{3})dy=0$, entonces ${\frac {M_{y}-N_{x}}{N.y-M.x}}={\frac {-1}{xy+2}}$ y por lo tanto $\mu (xy)={\frac {1}{xy+2}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\frac {y+x^{3}y+2x^{2}}{xy+2}}dx+{\frac {x+4xy^{4}+8y^{3}}{xy+2}}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)={\frac {1}{3}}x^{3}+y^{4}+\ln {(xy+2)}=c$

Factor integrante sólo en función de $x^{2}+y^{2}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x^{2}+y^{2})$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (xy)=e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*x-M*y}}\,dz}\,\!$ Con $z=x^{2}+y^{2}$

Ejemplo: $(x-y)dx+(x+y)dy=0$, entonces ${\frac {M_{y}-N_{x}}{N.x-M.y}}={\frac {-2}{x^{2}+y^{2}}}$ y por lo tanto $\mu (x^{2}+y^{2})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\frac {x-y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)={\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}+y^{2})}-\arctan {\left({\frac {x}{y}}\right)}=c$

Bibliografía

• Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
• Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
• Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuación diferencial de primer orden

• Datos: Q1366795