Fórmula de De Polignac

En teoría de números, la fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona una fórmula para la factorización en primos del factorial, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre​y también se la conoce por esto como fórmula de Legendre. En concreto, la fórmula da una expresión para encontrar con qué exponente contribuye cada primo menor que $n$ a la factorización de $n!$ y, por tanto, la descomposición en factores primos de $n!$.

Enunciado

Sea n ≥ 1 un entero. Podemos expresar $n!$ como un producto de números primos factorizándolo. Obtenemos pues que

$n!=\prod _{p{\text{ primo}} \atop p\leq n}p^{s_{p}(n!)}$

para ciertos primos $p$ que contribuyen con exponentes $s_{p}(n!)$ (es decir, definimos $s_{p}(n!)$ como el exponente de $p$ en la descomposición en factores primos de $n!$). Claramente, los primos de la descomposición deben ser menores que $n$ (pues deben dividir a algún número menor que $n$ por definición de factorial).

La fórmula de Legendre nos da entonces una fórmula explícita para calcular estos exponentes (y, por tanto, toda la descomposición). Concretamente, afirma que

$s_{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor$,

donde los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se tiene que:

$\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor$

que permite calcular más sencillamente los términos s_p(n!).^{[cita requerida]}

Ejemplo

Para n=6, se tiene que $6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$. Los exponentes, que sabemos que valen $s_{2}(6!)=4,s_{3}(6!)=2,s_{5}(6!)=1$, se pueden calcular también con la fórmula de Legendre:

${\begin{aligned}s_{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]s_{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]s_{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}$

Demostración

Como, por definición, $n!$ es el producto de los enteros entre $1$ y $n$, obtenemos por lo menos un factor $p$ en $n!$ por cada múltiplo de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$. Como cada múltiplo de $p$ dista del siguiente una distancia $p$, en la lista anterior tenemos $\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor$ múltiplos de $p$. Pero cada múltiplo de $p^{2}$ contribuye con dos factores (y no uno) de $p$, cada múltiplo de $p^{3}$ con tres factores de $p$, etcétera. Por el mismo argumento anterior, en $\{1,2,\dots ,n\}$ hay $\left\lfloor {\tfrac {n}{p^{i}}}\right\rfloor$ múltiplos de $p^{i}$. Así, si sumamos uno por cada múltiplo de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$ (o lo que es lo mismo, el número de múltiplos de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de $p^{2}$ (el número de múltiplos de $p^{2}$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de $p^{3}$ (el número de múltiplos de $p^{3}$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), etcétera, obtenemos el número de factores $p$ que tiene $n!$, pero esto es lo que enuncia la fórmula de Legendre. $\quad \square$

Bibliografía

• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). «Number Theory, 2. Bertrand's postulate». Proofs from THE BOOK (en inglés). Springer. p. 10. ISBN 978-3-662-57264-1. 

Enlaces externos

• de Polignac's formula en PlanetMath.

• Datos: Q23041626