En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria
es
![{\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd2d8553d7f6d0baa66d0ce779a68876076e56e)
siempre que esta esperanza exista.
La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de
, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3c08f5fbc206904d2700a1660c39ef8389024c)
Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.
De forma general, donde
es un vector aleatorio n-dimensional, se usa
en lugar de
:
![{\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left[e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83edfe0a1d013330c15ee30749cd6e0ba41b7b7)
En ocasiones se escribe
en lugar de
y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.
Si
es una variable aleatoria continua con función de densidad
, entonces la función generadora de momentos viene dada por:
![{\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da5a30cd7c254af3050d0d38f9a8f68cb41b95e)
![{\displaystyle M_{X}(t)=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5e9898e71fabacac6002757c8368bff78ed0bb)
donde
es el
-ésimo momento.
es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de
.
Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes
![{\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c01f220becd870d525aad5dd549b0ed9a33796)
donde
es la función de distribución. Si
es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y
![{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bf1ba75357e53861251060d7841d9a94909266)
donde las
son constantes, entonces la función de densidad de
es la convolución de la función de densidad de cada una de las
y la función generadora de momentos para
viene dada por
![{\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815eeccc69102ce8e2f50a2d40a2919742dca683)
Para variables aleatorias multidimensionales
con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por
![{\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{\langle t,X\rangle }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb853207f0c1399d713a03e1e2fb7279dd5f6205)
donde t es un vector y
es el producto punto.
Función generatriz de momentos para algunas distribuciones[editar]
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
Función generatriz para una variable aleatoria discreta[editar]
Si
entonces la función de probabilidad está dada por
![{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa9f20507dfa08a57aead7c4ec557f6c17cae8a)
para
por lo que la función generatriz de momentos es
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\operatorname {E} [e^{tX}]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}\operatorname {P} [X=x]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=(1-p)+e^{t}p\\&=1-p+pe^{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b42321279faa850a5d13655011e3e831ad76425)
Relación con otras funciones[editar]
Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:
- Función característica
La función característica
está relacionada con la función generadora de momentos vía
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{X}(it)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0954a6e8f3c74f1ca41bb49e2f111617c97a355f)
siempre que ambas existan.
- Función generadora de probabilidad
La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad
![{\displaystyle M_{X}(t)=G(e^{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80903513cb770164c6a7e43b31c2180520650aa0)
donde
![{\displaystyle G(e^{t})={\text{E}}\left({\text{exp}}(t)^{X}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050fb4b65c9a57278fe8a127b2b35747097cee77)
siempre que ambas existan.
Véase también[editar]