Módulo semisimple
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En matemáticas, concretamente en álgebra abstracta y teoría de módulos, un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se expresa como suma directa de submódulos simples. Los anillos que son módulos semisimples sobre sí mismos se llaman anillos semisimples, y su estructura queda determinada por el Teorema de Artin-Wedderburn, que los caracteriza como isomorfos a un producto directo de anillos de matrices sobre anillos de división.
Definición
[editar]Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) se dice semisimple (o completamente reducible) cuando es una suma directa de submódulos simples.
Caracterización
[editar]Para un módulo cualquiera , equivalen:
- es semisimple, suma directa de módulos simples.
- es la suma directa de sus submódulos simples.
- Cada submódulo de es un sumando directo; es decir, para cada submódulo de , existe un complemento tal que .
Propiedades
[editar]- Si es semisimple y es un submódulo, entonces y son también semisimples.
- Si cada es un módulo semisimple, también lo es .
- Un módulo es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.
Referencias
[editar]- Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7.
- Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd edición), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5.
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439.
- Lang, Serge (2002), Algebra (3rd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854.
- R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.