Teorema del eje paralelo
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Steiner_Regel.svg/300px-Steiner_Regel.svg.png)
El eje de rotación 1 pasa por el centro de masas del cuerpo de masa .
El eje de rotación 2 está desplazado la distancia d.
El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o simplemente como teorema de Steiner,[1] (nombrado así en referencia a Christiaan Huygens y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre ambos ejes.
Enunciado[editar]
Momentos de inercia[editar]
Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:
Símbolo | Nombre |
---|---|
Momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su centro de masas | |
Momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas | |
Masa del objeto | |
Distancia perpendicular entre los dos ejes |
El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia. Dado una base vectorial B el tensor de inercia según esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas están relacionados por la relación:
Símbolo | Nombre |
---|---|
Vector con origen en O y extremo en G | |
Matriz identidad |
Segundos momento de área[editar]
La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Parallelaxes-1.png/220px-Parallelaxes-1.png)
La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región plana D:
Símbolo | Nombre |
---|---|
Momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo | |
Momento de inercia planar de D relativa a su centroide | |
Área de una región plana D | |
Distancia del nuevo eje z al centroide de la región plana D |
Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con la misma forma que tiene densidad uniforme.
Tensor de inercia[editar]
En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia Jij a partir de un tensor de inercia sobre el centro de masas Iij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas:
donde
es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y
es la función delta de Kronecker.
Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.
Demostración[editar]
Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:
El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:
Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:
El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:
Generalización[editar]
Para los momentos de tercer orden se tiene la expresión:
Símbolo | Nombre |
---|---|
Momentos de tercer orden respecto al centro de masa | |
Momentos de segundo orden respecto al centro de masa | |
Símbolo de Levi-Civita |
Si para el cálculo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de inercia, se tiene:
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Arthur Erich Haas (1928). Introduction to theoretical physics.