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En matemáticas , una bifurcación tridente [ 1] pitchfork bifurcation ) es un tipo particular de bifurcación local . Es habitual en sistemas dotados de alguna simetría . Al igual que las bifurcaciones de Hopf , las bifurcaciones pitchfork pueden ser supercríticas o subcríticas.
Caso supercrítico [ editar ] Caso supercrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que las líneas punteadas representan aquellos valores inestables. La forma normal de la bifurcación tridente supercrítica es:
d
x
d
t
=
r
x
−
x
3
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}
Para los valores negativos de
r
{\displaystyle r}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
±
r
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}
Caso subcrítico [ editar ] Caso subcrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que las líneas punteadas representan aquellos valores inestables. La forma normal de la bifurcación tridente subcrítica es:
d
x
d
t
=
r
x
+
x
3
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}
En este caso, para
r
<
0
{\displaystyle r<0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
±
−
r
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Definición formal [ editar ] Una ecuación diferencial ordinaria
x
˙
=
f
(
x
,
r
)
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}
descrita por una función uniparamétrica
f
(
x
,
r
)
{\displaystyle f(x,r)}
r
∈
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
−
f
(
x
,
r
)
=
f
(
−
x
,
r
)
{\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}
función impar ),
∂
f
∂
x
(
0
,
r
o
)
=
0
,
∂
2
f
∂
x
2
(
0
,
r
o
)
=
0
,
∂
3
f
∂
x
3
(
0
,
r
o
)
≠
0
,
∂
f
∂
r
(
0
,
r
o
)
=
0
,
∂
2
f
∂
r
∂
x
(
0
,
r
o
)
≠
0.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}}
tiene una bifurcación de pitchfork en
(
x
,
r
)
=
(
0
,
r
o
)
{\displaystyle (x,r)=(0,r_{o})}
∂
3
f
∂
x
3
(
0
,
r
o
)
{
<
0
,
s
u
p
e
r
c
r
i
t
i
c
a
l
>
0
,
s
u
b
c
r
i
t
i
c
a
l
{\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\left\{{\begin{matrix}<0,&\mathrm {supercritical} \\>0,&\mathrm {subcritical} \end{matrix}}\right.\,\,}
Referencias [ editar ] Véase también [ editar ] 
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f731517921c602ea11ababfdad008d8c839e1aa7)
Datos: Q1785924
Multimedia: Pitchfork bifurcation / Q1785924