Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Un sólido de revolución es un cuerpo que se obtiene al hacer girar una región plana alrededor de un eje.​ Si la superficie generatriz pertenece al plano determinado por el eje de rotación, el volumen del sólido generado es igual al producto del área de dicha superficie por la longitud de la circunferencia descrita por el baricentro de ésta.

Los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos, o rectas paralelas a los mismos, se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones:

Giro paralelo al eje de abscisas (eje X)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:

$V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$

Giro paralelo al eje de ordenadas (Eje Y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

$V=2\pi \int _{a}^{b}(x-K)^{2}[f'(x)-g'(x)]\,dx$

Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

$V=2\pi \int _{a}^{b}x^{2}f'(x)\,dx$

Véase también

• Superficie de revolución