Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles"). El trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k = 0, 1, 2, ...) es igual a:

$f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!$

dónde

• e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! es el factorial de k,
• k es el número de ocurrencias de un evento,
• λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas. $\!k=5,\lambda =400(0.02)=8$

$\!P(5;8)={\frac {8^{5}e^{-8}}{5!}}=0.092$

Su media y su varianza son:

$\!\mu =\lambda$

$\!\sigma ^{2}=\lambda$

Como una función de k, ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limitante de la distribución binomial, es decir, que una distribución binomial en la que $n\rightarrow \infty$ y $\theta \rightarrow 0$ se puede aproximar por una distribución de Poisson de valor $\!\lambda =n\theta$

La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una distribución de Gauss o distribución normal.

Ocurrencia

La distribución Poisson, Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen:

• El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
• El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
• El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
• El número de servidores web accedidos por minuto.
• El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
• El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
• El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.
• El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
• La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
• La inventiva de un inventor a través de su carrera.

Propiedades

• El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también lo es su varianza. Los momentos más altos de la distribución Poisson son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen un sentido combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

• Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un λ no entero es igual a $\scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor$ (o suelo de λ), el cual es el número entero más grande menor o igual a λ. Esto también es expresado como la función parte entera de λ. Cuando λ es un entero positivo, las medidas de tendencia central son λ y λ − 1.

• Sumas de las variables aleatorias de distribución Poisson:

Si $X_{i}\sim \mathrm {Poi} (\lambda _{i})\,$ sigue una distribución Poisson con parámetro $\lambda _{i}\,$ y $X_{i}$ son independientes entonces $Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,$ también sigue una distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros del componente.

• La función generadora de momentos de la distribución Poisson con valor esperado λ es:

$\mathrm {E} \left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}f(k;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}.$

• Todas las acumulaciones de la distribución Poisson son iguales al valor esperado λ. El enésimo momento factorial de la distribución Poisson es λⁿ.

• La distribuciones Poisson son funciones probabilísticas infinitamente divisibles.

• La divergencia Kullback-Leibler dirigida entre Poi(λ₀) y Poi(λ) está dada por:

$\Delta (\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).$

• Cuando $\lambda$ tiende a infinito, podemos aproximar a una distribución normal. Por ello, podemos tipificar ya que conocemos cual es la media y varianza de una Poisson.

$X\sim Po(\lambda )\sim N(\lambda ,\lambda )$

$\lambda \to \infty$

Tipificando:

$Y={\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}$

$Y\sim N(0,1)$

Véase también

• Proceso de Poisson
• Regresión de Poisson