Teorema de la función inversa

En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. El teorema puede enunciarse para aplicaciones en Rⁿ o se puede generalizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.

El teorema establece que si el campo vectorial esta definido entre dos conjuntos de la misma dimensión topológica, el campo tiene primeras derivadas continuas y la jacobiana en un punto del dominio es invertible, entonces el campo también es invertible localmente. Más aún, el jacobiano de la inversa en el punto imagen es igual al inverso del jacobiano en el punto, en símbolos

$(F^{-1})'(F(p))=(F'(p))^{-1}\,$

Enunciado del Teorema

Más precisamente, el teorema de la función inversa dice que si F es una función continuamente diferenciable de un conjunto abierto U de Rⁿ en Rⁿ, y p es un punto de U de modo que la matriz jacobiana de F en p es invertible (i.e. el determinante Jacobiano de F en p es distinto de cero), entonces F es una función invertible cerca de p. Esto quiere decir que existe una vecindad de F(p), en la cual existe una función inversa de F. Más aún, la función inversa F ^-1 también es continuamente diferenciable.

Ejemplo

Consideremos la función F de R² en R² definida por

$\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}$

Su matriz jacobiana es

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

y su determinante

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!$

Como el determinante e^2x es no nulo en todo punto, aplicando el teorema, para cada punto p de R², existe un entorno de p en que F es invertible.

Generalizaciones

Variedades diferenciables

En este contexto, el teorema afirma que dada una aplicación F : M → N entre dos variedades diferenciables, si la diferencial de F,

(dF)_p : T_pM → T_F(p)N

es un isomorfismo lineal (es decir, isomorfismo entre espacios vectoriales) en un punto p de M, entonces existe un entorno abierto U de p tal que

F|_U : U → F(U)

es un difeomorfismo.

Dicho de otro modo, si la diferencial de F es un isomorfismo en todos los puntos p de M, entonces la aplicación F es un difeomorfismo local.

Véase también

• Teorema de la Función Implícita