Teorema del valor intermedio

El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

En palabras más vulgares, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente: Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b está en el otro lado del río (tiene valor positivo) y la gráfica es contínua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río), con lo que podemos decir que para cruzar el río uno se ha de mojar.

Este teorema está íntimamente relacionado con los teoremas de Rolle y del valor medio.

Enunciado y demostración

Sea $\ f$ una función continua en un intervalo cerrado $\ [a,b]$ tal que $\ f(a)<0<f(b)$ ó $\ f(b)<0<f(a)$.

Entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que $\ f(c)=0$.

Atención: El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo demuestra que como mínimo existe uno.

Demostración

Suponer que f(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera análoga)

Sea Z₁ = (a + b)/2

Si f(Z₁) = 0, ya estaría con c = Z₁; si no hay dos posibilidades, f(Z₁) > 0 y f(Z₁) < 0

Si f(Z₁) > 0, entonces X₁ = a e Y₁=Z₁

Si f(Z₁) < 0, entonces X₁ = Z₁ e Y₁ = b

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