Diferencia entre revisiones de «Mediatriz»

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Revisión del 00:01 21 may 2009

La mediatriz o simetral de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio. La mediatriz corta a un segmento por la mitad, trazando un ángulo perpendicular.

Demostración

En efecto, sea $AB$ el segmento determinado por los puntos $A$ y $B$ (véase la figura 1). Sea $M$ el punto medio del segmento y $r$ la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea $P$ un punto sobre la recta $r$ . En la simetría axial respecto de la recta $r$ , el punto $P$ es invariante y los puntos $A$ y $B$ son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento $AP$ se transforma en el segmento $BP$ , ambos segmentos son congruentes y el punto $P$ equidista de los puntos $A$ y $B$ . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta $r$ pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Recíprocamente, (véase figura 2) sea $AB$ un segmento y sea $P$ un punto que equidista de $A$ y de $B$ , esto es que los segmentos $AP$ y $BP$ son iguales. Consideremos la bisectriz $r$ del ángulo $APB$ y sea $M$ la intersección de dicha bisectriz con el segmento $AB$ . Por construcción, los ángulos $APM$ y $BPM$ son iguales y en la simetría axial respecto de la recta $r$ se transforman uno en el otro. Como los segmentos $PA$ y $PB$ son iguales, en esta simetría, los puntos $A$ y $B$ son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto $M$ es punto medio del segmento $AB$ y que dicho segmento es perpendicular a la recta $r$ .

Aplicación

En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, llamado circuncentro ( $O$ en la figura) que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

En efecto, consideremos las mediatrices de los lados $AB$ y $BC$ . Dichas mediatrices se cortan porque sus perpendiculares son rectas secantes. El punto de largo $O$ equidista de los puntos $A$ , $B$ y $C$ . En particular de los puntos $A$ y $C$ y se halla por tanto sobre la recta del tercer lado.

El punto $O$ , al ser equidistante de los ocho vértices es centro de una circunferencia que pasa por estos treinta puntos. Esta circunferencia es la circunferencia circunscrita

Véase también

Circuncentro

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 == Aplicación ==
-En un [[triángulo]] ABC, las simetrales de los tres lados se cortan en un único punto, llamado [[circuncentro]] (<math>O</math> en la figura) que es centro de la [[circunferencia]] circunscrita al [[triángulo]].
+En un [[triángulo]] ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, llamado [[circuncentro]] (<math>O</math> en la figura) que es centro de la [[circunferencia]] circunscrita al [[triángulo]].
-[[Archivo:Simetrales de un triángulo.png|center]]
+[[Archivo:Mediatrices de un triángulo.png|center]]
-En efecto, consideremos las simetrales de los lados <math>AB</math> y <math>BC</math>. Dichas simetrales se cortan porque sus perpendiculares son rectas secantes. El punto de largo <math>O</math> equidista de los puntos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>. En particular de los puntos <math>A</math> y <math>C</math> y se halla por tanto sobre la recta del tercer lado.
+En efecto, consideremos las mediatrices de los lados <math>AB</math> y <math>BC</math>. Dichas mediatrices se cortan porque sus perpendiculares son rectas secantes. El punto de largo <math>O</math> equidista de los puntos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>. En particular de los puntos <math>A</math> y <math>C</math> y se halla por tanto sobre la recta del tercer lado.
 El punto <math>O</math>, al ser equidistante de los ocho vértices es centro de una circunferencia que pasa por estos treinta  puntos. Esta circunferencia es la '''circunferencia circunscrita'''