Péndulo

Péndulo esférico animado

Un péndulo es un sistema físico ideal constituido por un hilo inextensible y de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente en el vacío. Si el movimiento de la masa se mantiene en un plano, se dice que es un péndulo plano; en caso contrario, se dice que es un péndulo esférico.

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada. Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

Péndulo plano

Diagrama de las fuerzas que actúan en un péndulo simple.

Al separar la masa de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos, se produce un equilibrio de fuerzas. Para derivar las ecuaciones pertenecientes a un péndulo gravitacional se deben hacer las siguientes hipótesis:

• Hilo inextensible y sin peso
• Movimiento sin rozamiento del aire

La flecha azul representa la fuerza debido a la gravedad actuando sobre la masa. Las flechas en color violeta representan los componentes paralelo y perpendicular al movimiento instantáneo de la masa.

Ya que la masa está obligada a moverse en un trayecto circular (representado en color verde), el componente paralelo de esta fuerza es el responsable del movimiento de la masa y viene dado según la ecuación:

$F_{\|}=mg\sin \theta =ma\,$

La fuerza perpendicular, que mantiene la masa en estado de equilibrio con la tensión del hilo es:

$F_{\perp }=mg\cos \theta \,$

La aceleración lineal $a$ que sigue la línea marcada en color rojo está relacionada con el cambio en el ángulo $\theta$ por la fórmula para encontrar la longitud de arco:

$s=\ell \theta \,$

De donde se deduce que la velocidad y la aceleración vienen dadas por:

$v={ds \over dt}=\ell {d\theta \over dt}$

$a={d^{2}s \over dt^{2}}=\ell {d^{2}\theta \over dt^{2}}$

Esta aceleración no toma en cuenta que el ángulo $\theta$ está disminuyendo. La ecuación de movimiento teniendo en cuenta que la aceleración $a$ tiene que llevar un signo negativo viene dada por:

$\ell {d^{2}\theta \over dt^{2}}=-g\sin \theta$

Período de la oscilación

Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\ell \over g}}$

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

$T=4{\sqrt {\ell \over g}}K\left(\sin {\frac {\varphi _{0}}{2}}\right)=4{\sqrt {\ell \over g}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}\sin ^{2}\theta }}}$

Donde φ₀ es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

$T=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\dots \right]$

Solución de la ecuación de movimiento

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

$t={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int _{0}^{l\phi (t)}{\frac {ld\theta }{\sqrt {E-U(\phi )}}}={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \phi _{0}}}}={\sqrt {\frac {l}{4g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}\phi _{0}-\sin ^{2}\theta }}}$

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

$E=-mgl\cos \phi _{0}\;$, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud $\phi _{0}\;$.

$U(\phi )=-mgl\cos \phi \;$, es la energía potencial.

Realizando en variable $\sin \xi =\sin(\theta /2)/\sin(\phi _{0}/2)\;$, la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

$t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}\sin ^{2}\xi }}}\Rightarrow \qquad \phi (t)=2\arcsin \left({\mbox{sn}}\ {\sqrt {\frac {g}{l}}}t\cdot \sin {\frac {\phi _{0}}{2}}\right)$

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud $\phi _{0}=0,999\pi$ (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud $\phi _{0}=0,25\pi$ (gris).

Donde:

${\mbox{sn}}(t)\;$, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

$\sin \Phi ={\frac {\sin {\frac {\phi (t)}{2}}}{\sin {\frac {\phi _{0}}{2}}}}$

El lagrangiano del sistema es ${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mgl\cos {\theta }$, donde $\theta$ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y $l$ es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: $l^{2}{\ddot {\theta }}+gl\sin {\theta }=0$. Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.

Péndulo esférico

Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical M_z. La función lagrangiana viene dada por:

$L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+mgl\cos \theta$

Donde $\phi$ es el ángulo polar y $\theta$ es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

${\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}+l{\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta )=0\end{matrix}}$

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

${\dot {\phi }}={\frac {M_{z}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}\Rightarrow \qquad L=K({\dot {\theta }})+U_{ef}(\theta )={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {M_{z}^{2}}{2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$

Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.

Período

El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico, lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimiento

Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:

$t={\sqrt {\frac {ml^{2}}{2}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {E-U_{ef}(\theta )}}}\qquad \phi ={\frac {M_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int {\frac {d\theta }{\sin ^{2}\theta {\sqrt {E-U_{ef}(\theta )}}}}$

Péndulo balístico

Un péndulo balístico es un montaje físico que puede emplearse como instrumento de medida. En particular se usa el péndulo balístico para determinar la velocidad de salida de una bala disparada por un cañón o cualquier otra arma de fuego.

Se dispara horizontalmente una bala contra un bloque suspendido de una cuerda. Este dispositivo se denomina péndulo balístico y se usa para determinar la velocidad de la bala midiendo el ángulo que se desvía el péndulo después de que la bala se haya incrustado en él. Se supondrá que el bloque es una masa puntual suspendido de una cuerda inextensible y sin peso.

Fundamentos físicos

De la conservación del momento lineal se obtiene la velocidad $v_{B}\;$ del bloque formado por el péndulo y la bala incrustada en él, inmediatamente después del choque. Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y $v_{0}\;$ su velocidad, dicho principio se escribe:

$mv_{0}=(m+M)v_{B}\;$

Después de la colisión pueden ocurrir los diferentes casos, dependiendo del valor de la energía cinética adquirida por el sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él:

1. Que el ángulo máximo de desviación del péndulo no supere los 90º.
2. Que el péndulo dé vueltas.
3. Que el péndulo se desvíe un ángulo comprendido entre 90º y 180º.

En el primer caso la conservación de la energía se escribe:

(1)${\frac {1}{2}}(M+m)v_{B}^{2}=(M+m)gR(1-\cos \theta )$

Midiendo el ángulo θ se obtiene $v_{B}\;$, y de la conservación del momento lineal se obtiene la velocidad de la bala $v_{0}\;$.

Referencias

• Péndulo balístico

Véase también

• Péndulo de Foucault
• Péndulo de Newton
• Doble péndulo
• Oscilador armónico