Reductio ad absurdum

Reducción al absurdo (del latín Reductio ad absurdum) es un método de demostración (a menudo usado por Aristóteles como un argumento lógico) en el que suponemos una hipótesis y obtenemos un resultado absurdo, por lo que concluimos que la hipótesis de partida ha de ser falsa. Este método es también conocido como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento de la ley de exclusión de intermedios: una afirmación que no puede ser falsa, ha de ser consecuentemente verdadera.

En matemáticas

Supongamos que se desea demostrar la proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea, P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P no puede ser falsa, por lo que ha de ser verdadera.

Por ejemplo, consideremos la proposición "no existe un número racional mínimo mayor que cero". En una reducción al absurdo, comenzaríamos por asumir lo contario que existe un mínimo número racional y que es mayor que cero; llamémoslo r₀.

Ahora, hagamos x = r₀/2. Por lo tanto, x es un número racional mayor que cero; y x es más pequeño que r₀. Pero eso es absurdo, contradice nuestra hipótesis de partida de que r₀ era el número racional mínimo. Por lo tanto, debemos concluir que la proposición que asumimos como cierta: "hay un número racional mínimo mayor que cero" es falsa.

No es inusual utilizar este tipo de razonamiento con proposiciones como la indicada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se asume que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción; por lo tanto, ese objeto no existe. Por ejemplo, se puede probar de esta manera que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en las demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar una proposición matemática probando que el que no lo sea conduce a una contradicción.

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial es la contraria: imagínese que es un número racional, es decir, que

${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$, donde p y q son números enteros, y que q es distinto de 0. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que p y q son positivos (si los dos son negativos, basta con multiplicarlos por -1), y que son primos entre sí, es decir, que no comparten ningún factor común (en caso contrario, basta con dividirlos entre su máximo común divisor).

Elevando al cuadrado:

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

Multiplicando por ${\mathit {q^{2}}}\,\!$ se tiene:

${\mathit {2q^{2}=p^{2}}}\,\!$

La expresión ${\mathit {2q^{2}}}\,\!$ es un número par, así que ${\mathit {p^{2}}}\,\!$ también lo es. Eso implica que ${\mathit {p}}\,\!$ es par, porque, de no serlo, ${\mathit {p^{2}}}\,\!$ no sería par, con lo que no se podría cumplir la igualdad. Sea ${\mathit {p=2n}}\,\!$, donde ${\mathit {n}}\,\!$ es un número entero. Así, la expresión queda:

${\mathit {2q^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}}}\,\!$

Simplificando, se tiene:

${\mathit {q^{2}=2n^{2}}}\,\!$

Por el mismo razonamiento de antes, ${\mathit {2n^{2}}}\,\!$ es un número par, así es que ${\mathit {q^{2}}}\,\!$ también es par, y ${\mathit {q}}\,\!$ también es par.
Como ${\mathit {p}}\,\!$ y ${\mathit {q}}\,\!$ son los dos pares, eso quiere decir que tienen al menos un factor común, que es ${\mathit {2}}\,\!$. Esto entra en contradicción con la forma en que se han elegido los números ${\mathit {p}}\,\!$ y ${\mathit {q}}\,\!$ para que no tuvieran ningún factor común. Como esta elección de ${\mathit {p}}\,\!$ y ${\mathit {q}}\,\!$ se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, eso quiere decir que la premisa inicial de que ${\sqrt {2}}$ era racional es falsa.
Luego ${\sqrt {2}}$ es irracional, C.Q.D.

Es importante advertir que para construir una prueba válida, debe demostrarse que, dada una proposición ${\mathit {P}}\,\!$, "no ${\mathit {P}}\,\!$" implica una propiedad que es falsa en el sistema matemático utilizado. El peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, donde se prueba que "no ${\mathit {P}}\,\!$" implica una propiedad "${\mathit {Q}}\,\!$" que parece falsa pero que realmente no se ha demostrado que lo es. Un ejemplo clásico de esta falacia es la falsa demostración de un quinto postulado de Euclides a partir de los anteriores. En el momento en que se establecieron esas pruebas, parecían correctas debido a que no se contemplaba otra geometría que la euclidiana; pero con la aparición de otras geometrías dio al traste con el sistema. Para una más profunda explicación de esos malentendidos, ver Morris Kline, Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times.

Aunque se utiliza con gran libertad en demostraciones matemáticas, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válidas. En escuelas como la del intuicionismo, la ley de exclusión de intermedios no se acepta como válida. Desde este punto de vista, hay una diferencia muy significativa entre demostrar que algo que existe demostrando que sería absurdo que no lo hiciera y construyendo un ejemplo real de ese algo.

En lógica simbólica, la reducción al absurdo se representa:

si

$S\cup \{\neg P\}\vdash F$

entonces

$S\vdash P$

En esta representación, P es la proposición a demostrar, y S es una serie de proposiciones previas que tomamos como ciertas (por ejemplo, los axiomas de la teoría en la que trabajamos o los teoremas anteriores que ya han sido demostrados). Consideramos la negación de P en conjunto con S. Si esto lleva a una contradicción F, entonces podemos concluir que S nos conduce necesariamente a P.

En palabras de G. H. Hardy, "La Reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida".

Véase también

• Reductio ad Hitlerum