Anexo:Identidades logarítmicas

En matemática, hay muchas identidades logarítmicas.

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos son generalmente utilizados para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	porque	$b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	porque	${\begin{matrix}{\frac {b^{m}}{b^{n}}}\end{matrix}}=b^{m-n}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	porque	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	porque	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Cancelando exponentes

Logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	porque	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	porque	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Cambiando la base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Esta identidad es requerida para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores pueden procesar ln y log₁₀, pero no log₂. Para encontrar log₂(3), solo basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (o ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Identidades triviales

$\log _{b}(1)=0\!\,$	porque	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	porque	$b^{1}=b\!\,$

Identidades de cálculo

Limites

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}$

Integrales de funciones logarítmicas

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

donde $H_{n}$ es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Entonces,

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$