Triángulo rectángulo

El teorema del cateto establece lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Por lo tanto, dada la siguiente figura:

Se tiene que:

$b^{2}\ =\ cm$

$a^{2}\ =\ cn$

Demostración

Sea el triángulo ABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ABC, ACH y BCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

• Por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC

${\frac {b}{m}}={\frac {c}{b}}$

de dónde,

$b^{2}\ =\ cm$

• Por la semejanza entre los triángulos BCH y ABC

${\frac {a}{n}}={\frac {c}{a}}$

$a^{2}\ =\ cn$

y el teorema queda demostrado.

Véase también

• Teorema de Pitágoras