Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por Peano (1858-1932), matemático italiano, en el siglo XIX. En particular los axiomas de Peano no se preguntan por el significado del que es un número natural, supone que existe y pretende encontrar un sistema simple de axiomas que caracterizan los números naturales y nos permite deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

1. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a.
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces a y b son números naturales iguales.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Los axiomas de Peano, tal como fueron escritos (en latín), fueron

1. El uno es un número natural.
2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.

El hecho de considerar el 0 como natural o no es tema de controversia. Normalmente se considera que lo es según si se necesita o no, en cuyo caso el primer número pasa a ser el uno.