Teorema de la energía cinética

El teorema de las fuerzas vivas es un teorema importante en el mundo de la mecánica clásica, en especial dentro del campo de la dinámica y de los análisis energéticos. También conocido como teorema de la energía cinética.

Enunciado

El teorema de las fuerzas vivas establece que:

El trabajo realizado por una fuerza al desplazarse entre dos puntos se emplea íntegramente en incrementar su energía cinética:

$W=\Delta \ E_{c}=E_{c2}-E_{c1}$

A continuación expondremos la desmostración matemática. $W_{1\to 2}=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}=\int _{r_{1}}^{r_{2}}m{\vec {a}}\,d{\vec {r}}=\int _{r_{1}}^{r_{2}}m{\frac {d{\vec {v}}}{d\ t}}\,d{\vec {r}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}m{\vec {v}}\,d{\vec {v}}=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}=m\left[{\frac {v^{2}}{2}}\right]_{v_{1}}^{v_{2}}=m\left[{\frac {v_{2}^{2}}{2}}-{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right]\quad$${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=E_{c2}-E_{c1}=\Delta \ E_{c}$

Recuérdese que:${\frac {1}{2}}mv^{2}=E_{c}$

Diversas consideraciones

• Si $W_{1}^{2}>0\Rightarrow$Trabajo motor $\Rightarrow$ aumento de la velocidad.
• Si $W_{1}^{2}<0\Rightarrow$Trabajo resistente $\Rightarrow$disminución de la velocidad.

Lógicamente las unidades de trabajo y de energía cinética son coincidentes $\Rightarrow J$