Diferencia entre revisiones de «Característica (matemática)»

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Revisión del 01:40 10 jun 2009

En Álgebra abstracta, la característica de un anillo R es definida como el entero positivo más pequeño n tal que 1_R+...+1_R (con n sumandos) = 0. Si no existe tal n, decimos que la característica de R es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo R como el único número natural n tal que R contenga un subanillo isomorfo al anillo factorial Z/nZ.

El caso de anillos

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos

R → S,

entonces la característica de S divide la característica de R. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial R no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 ó primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo Z/nZ de los enteros módulo n tiene característica n. Si R es un subanillo de S, entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si q(X) es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo Z/pZ donde p es primo, entonces el anillo factor (Z/pZ)[X]/(q(X)) es un cuerpo de característica p. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo R tiene característica prima p, entonces se tiene que (x + y)^p = x^p + y^p para todo elemento x y y en R.

La aplicación

f(x) = x^p

define un homomorfismo de anillos

R → R.

Este es llamado el homomorfismo de Frobenius. Si R es un dominio de integridad éste es inyectivo.

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 De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo ''R'' como el único [[Números naturales|número natural]] ''n'' tal que ''R'' contenga un [[subanillo]] [[homomorfismo de anillos|isomorfo]] al [[anillo factorial]] '''Z'''/''n'''''Z'''.
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 Si ''R'' y ''S'' son anillos y existe un [[homomorfismo de anillos]]
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+:''R'' → ''S'',
+entonces la característica de ''S'' divide la característica de ''R''. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial ''R'' no tienen ningún [[divisor de cero]], entonces su característica es 0 ó [[número primo|primo]]. En particular, esto se aplica a todo [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]], a todo [[dominio de integridad]] y a todo [[anillo de división]]. Todo anillo de característica 0 es infinito.
+El anillo '''Z'''/''n'''''Z''' de los enteros [[aritmética modular|módulo]] ''n'' tiene característica ''n''. Si ''R'' es un [[subanillo]] de ''S'', entonces ''R'' y ''S'' tienen la misma característica. Por ejemplo, si ''q''(''X'') es un [[polinomio]] primo con coeficientes en el cuerpo '''Z'''/''p'''''Z''' donde ''p'' es primo, entonces el anillo factor ('''Z'''/''p'''''Z''')[''X'']/(''q''(''X'')) es un cuerpo de característica ''p''. Como los [[número complejo|números complejos]] contienen a los racionales, su característica es 0.
-<nowiki>entonces la <nowiki>característica de ''S'' divide la</nowiki> característica de ''R''. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. <<nowiki>nowiki>El único anillo</nowiki> con característica 1 es el anillo trivial el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial ''R'' no tienen ningún [[divisor de cero]], entonces su característica es 0 ó [[número primo|primo]]. En particular, esto se aplica a todo [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]], a todo [[dominio de integridad]] y a todo [[anillo de división]]. Todo anillo de característica 0 es infinito. esto es una cestion mui dificil <nowiki>Aquí inserta</nowiki> texto sin formato</nowiki>]]El anillo Aquí inserta texto sin formato'''Z'''/''n'''''Z''' de los enteros [[aritmética modular|módulo]] ''n'' tiene característica ''n''. Si ''R'' es un [[subanillo]] de ''S'', entonces ''R'' y ''S'' tienen la misma característica. Por ejemplo, si ''q''(''X'') es un [[polinomio]] primo con coeficientes en el cuerpo '''Z'''/''p'''''Z''' donde ''p'' es primo, entonces el anillo factor ('''Z'''/''p'''''Z''')[''X'']/(''q''(''X'')) es un cuerpo de característica ''p''. Como los [[número complejo|números complejos]] contienen a los racionales, su característica es 0.</nowiki>
 Si un anillo conmutativo ''R'' tiene característica prima ''p'', entonces se tiene que (''x'' + ''y'')<sup>''p''</sup> = ''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> para todo elemento ''x'' y ''y'' en ''R''.
-La aplicación</nowiki>[[Media:Ejemplo.ogg]]
+La aplicación
 :''f''(''x'') = ''x''<sup>''p''</sup>
-define un [[homomorfismo de anillos]]</nowiki><nowiki></nowiki>
+define un [[homomorfismo de anillos]]
 :''R'' → ''R''.