Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica $f(z)$ en una singularidad aislada $z=z_{0}$ al número

$\operatorname {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z)dz$

donde C representa una circunferencia de centro $z_{0}$ y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo $z_{0}$.

Si $f(z)$ tiene una singularidad evitable en $z_{0}$, el residuo es $\operatorname {Res} (f(z),z_{0})=0$.

Si $f(z)$ tiene un polo de orden $N$ en $z_{0}$, entonces el residuo se puede calcular como:

$\operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,{\frac {1}{(N-1)!}}{\frac {d^{N-1}}{dz^{N-1}}}[(z-z_{0})^{N}f(z)]$

En particular, si $N=1$ (polo simple),

$\operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,(z-z_{0})f(z)$

Si el punto $z_{0}$ es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a $z_{0}$. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente $-1$.