Diferencia entre revisiones de «Relaciones de Cardano-Vieta»

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Revisión del 23:03 7 ago 2009

Dado el polinomio $P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,$ perteneciente a C[z] y dadas sus raíces $z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,$ (pertenecientes a C), se cumplirán las siguientes ecuaciones (k ecuaciones en total):

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k}=(-1)^{k}*{a_{0} \over a_{k}}$

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{n}=(-1)^{k-1}*{a_{1} \over a_{k}}$

.

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{n-j+1}*z_{n-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{n-j} \over a_{k}}$

.

$z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k}=(-1)^{2}*{a_{k-2} \over a_{k}}={a_{k-2} \over a_{k}}$

$z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k}={(-1)^{1}*a_{k-1} \over a_{k}}=-{a_{k-1} \over a_{k}}$

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará la cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+Dado el polinomio <math>P(z)= a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + ... + a_kz^k \,</math> perteneciente a '''[[número complejo|C]]'''[z] y dadas sus raíces <math>z_1, z_2, z_3,...,z_k \,</math> (pertenecientes a '''[[número complejo|C]]'''), se cumplirán las siguientes ecuaciones (k ecuaciones en total):
+<math>z_1*z_2*z_3*...*z_k = (-1)^k*{a_0 \over a_k}</math>
+<math>z_1*z_2*z_3*...*z_{k-1} + ... + z_2*z_3*...z_n = (-1)^{k-1}*{a_1 \over a_k}</math>
+{| align="center"
+|.
+|.
+|.
+|}
+<math>z_1*z_2*z_3*...*z_j + ... + z_{n-j+1}*z_{n-j+2}*...z_k = (-1)^j*{a_{n-j} \over a_k}</math>
+{| align="center"
+|.
+|.
+|.
+|}
+<math>z_1*z_2 + z_1*z_3 + ... + z_{k-1}*z_k  = (-1)^2*{a_{k-2} \over a_k} = {a_{k-2} \over a_k}</math>
+<math>z_1 + z_2 + z_3 + ... + z_k  = {(-1)^1*a_{k-1} \over a_k} = -{ a_{k-1} \over a_k}</math>
+Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará la cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
+Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces.
+[[Categoría:Polinomios]]