Tensión mecánica

En física e ingeniería, se denomina tensión mecánica al valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material o medio continuo.

Un caso particular es el de tensión uniaxial, que se define en una situación en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un área A. En ese caso la tensión mecánica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega σ (sigma) y viene dada por:

$\sigma ={\frac {F}{A}}$

Siendo las unidades [Pa] (pascal = [N/m²]), [MPa] = 10⁶ [Pa] (y también [kp/cm²]).

La situación anterior puede extenderse a situaciones más complicadas con fuerzas no distribuidas uniformemente en el interior de un cuerpo de geometría más o menos compleja. En ese caso la tensión mecánica no puede ser representada por un escalar.

Si se considera un cuerpo sometido a tensión y se imagina un corte mediante un plano imaginario π que lo divida en dos, sobre cada punto del plano de corte se puede definir un vector tensión t_π que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitrio normal n_π al plano π. En ese caso se puede probar que t_π y n_π están relacionados por una aplicación lineal T o campo tensorial llamado tensor tensión:

${t_{\pi }}=T(n_{\pi })\,$

Tensión uniaxial (problemas unidimensionales)

La idea original de tensión se originó en dos simples observaciones sobre el comportamiento de cables de acero:

1. Cuando un cable se estira bajo la acción de una fuerza F, para valores debajo de cierto límite F < F_c, se observa que el alargamiento ΔL es proporcional a la carga F dividida por el área de la sección transversal A del cable. Si se definía s = F/A, el alargamiento ΔL era proporcional a σ: ΔL= k·s.
2. El fallo resistente del cable ocurría cuando la carga F superaba un cierto valor F_c que dependía del material del cable y del área de la sección transversal: F_c = σ_t A.

Estas observaciones sugerían que la característica fundamental que afecta a la deformación y el fallo resistente de los materiales es la magnitud s, que se llamó tensión ingenieril. Medidas más precisas hicieron notar que la proporcionalidad entre tensión ingenieril y el alargamiento no era exacta porque durante el estiramiento del cable la sección sufría un estrechamiento, por lo que A disminuía ligeramente. Sin embargo, si se definía la tensión real σ = F/A' donde A' representa ahora el área verdadera bajo la deformación, entonces se observaba una proporcionalidad perfecta para valores pequeños de F.

El coeficiente de Poisson se introdujo para dar cuenta de la relación entre el área inicial A y el área deformada A' . La introducción del coeficiente de Poisson en los cálculos estimaba correctamente la tensión al tener en cuenta que la fuerza F se distribuía en un área algo más pequeña que la sección inicial, lo cual hace que σ > s.

Principio de Cauchy

Sea $B\,$ un medio continuo deformado, entonces en cada subdominio $V\subset B\,$ existe un campo vectorial $t\,$, llamado campo de tensiones, tal que las fuerzas de volumen $f\in {\mathbb {R}}^{3}$ y el campo de tensiones $t\in {\mathbb {R}}^{3}$ satisfacen las siguientes ecuaciones de equilibrio:

$\int _{V}f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}t(\mathbf {x} ,n)dA=0$

$\int _{V}\mathbf {x} \times f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}\mathbf {x} \times t(\mathbf {x} ,n)dA=0$

Este principio fue enunciado por Augustin Louis Cauchy en su forma más general, aunque previamente Leonhard Euler había hecho una formulación menos general. De este principio puede demostrarse el teorema debido a Cauchy para el tensor tensión que postula que el principio de Cauchy equivale a la existencia de una aplicación lineal, llamada tensor tensión $T\in C^{1}(B,{\mathbb {R}}^{3})$ con las siguientes propiedades:

1. $t(\mathbf {x} ,n)=[T(\mathbf {x} )](n),$
2. $\operatorname {div} \,T(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,$
3. $T(\mathbf {x} )=T^{T}(\mathbf {x} )$

Con el principio, enunció también los dos postulados que definen la actuación de los vectores sobre una superficie

Tensión normal y tensión tangencial

Si consideramos un punto concreto de un sólido deformable sometido a tensión y se escoge un corte mediante un plano imaginario π que lo divida al sólido en dos, queda definido un vector tensión t_π que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal n_π al plano π definida mediante el tensor tensión:

${\mathbf {t} _{\pi }}={T(\mathbf {n} _{\pi })}\,$

Usualmente ese vector puede descomponerse en dos componentes que físicamente producen efectos diferentes según el material sea más dúctil o más frágil. Esas dos componentes se llaman componentes intrínsecas del vector tensión respecto al plano π y se llaman tensión normal o perpendicular al plano y tensión tangencial o rasante al plano, estas componentes vienen dadas por:

${\begin{cases}\sigma _{\pi }=\mathbf {t} _{\pi }\cdot \mathbf {n} _{\pi }\\\tau _{\pi }=||\mathbf {t} _{\pi }\times \mathbf {n} _{\pi }||\end{cases}}\Rightarrow \qquad ||\mathbf {t} _{\pi }||^{2}=\sigma _{\pi }^{2}+\tau _{\pi }^{2}$

Análogamente cuando existen dos sólidos en contacto y se examinan las tensiones entre dos puntos de los dos sólidos, se puede hacer la descomposición anterior de la tensión de contacto según el plano tangente a las superficies de ambos sólidos, en ese caso la tensión normal tiene que ver con la presión perpendicular a la superficie y la tensión tangencial tiene que ver con las fuerzas de fricción entre ambos.

Bibliografía

• Luis Ortiz Berrocal: Resistencia de materiales, Ed. McGraw-Hill/Interamericana de España, Madrid, 1990.
• Dietrich Braess: Finite Element, pp.250-251, Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997.

Véase también

• Tensión cortante
• Tensor tensión
• Tensor deformación
• Deformación

Enlaces externos

• Artículos sobre tensión en inglés por Andrés Melo y Geraint Wiggins, formato .PDF