Teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos (o QFT por Quantum Field Theory) es un marco teórico que aplica los principios de la mecánica cuántica a los sistemas clásicos de campos continuos, como por ejemplo el campo electromagnético. De este modo puede describirse la evolución e interacciones de sistemas de muchos cuerpos.

Su principal aplicación es a la física de altas energías, donde se combina con los postulados de la relatividad especial. En ese régimen es capaz de acomodar todas las especies de partículas subatómicas y sus interacciones, así como de realizar predicciones genéricas muy importantes: la relación entre spin y estadística, la conservación de la simetría CPT, la existencia de antimateria, etc. Además en física de la materia condensada desempeña un papel muy importante, utilizándose para explicar fenomenos como la superconductividad.

En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría física probada experimentalmente con mayor precisión. Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre el fin de los años 20 y los años 50, notablemente por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, y Dyson.

(La palabra «partícula» se utiliza a nivel introductorio en mecánica cuántica para enfatizar al comportamiento clásico de un punto material. En este artículo «partícula» se refiere a la entidad puramente cuántica resultante de cuantizar el punto material, que posee el comportamiento denominado como dualidad onda-corpúsculo, como un electrón o un fotón)

Historia

La teoría cuántica de campos nació en los años 20, en un intento de incorporar dentro de la mecánica cuántica la teoría del campo electromagnético. En 1926, Max Born, Pascual Jordan y Werner Heisenberg construyeron dicha teoría expresando los grados de libertad del campo como un conjunto infinito de osciladores armónicos, para despues cuantizarlos según el método habitual. Esta teoría funcionaba en ausencia de cargas electricas y corrientes; hoy día se la denominaría teoría libre. La primera teoría razonablemente completa de la electrodinámica cuántica, que describía conjuntamente al campo electromagnético y la materia cargada electricamente (concretamente, electrones) de manera totalmente cuántica, fue creada por Paul Dirac en 1927. Esta teoría cuántica de campos podía utilizarse para modelar procesos importantes como la emisión de un fotón por un electrón decayendo a un estado cuántico de menor energía: un átomo cambia su estado interno y emite un fotón. La comprensión de estos procesos es uno de los rasgos más importantes de la teoría cuántica de campos.

Era evidente desde los primeros intentos que una teoría cuántica del eletromagnetismo consistente debía de reflejar los principios de la relatividad de Einstein, derivados del estudio del elecromagnetismo clásico. Esta necesidad de aunar mecánica cuántica y relatividad fue una motivación fundamental para el desarrollo de la teoría cuántica de campos. Pascual Jordan y Wolfgang Pauli mostraron en 1928 que los campos cuánticos podían comportarse de forma correcta bajo una transformación de coordenadas de acuerdo con la relatividad especial (concretamente, los conmutadores de los campos eran invariantes Lorentz), y en 1933 Niels Bohr y Leon Rosenfeld interpretaron este resultado como la imposibilidad de efectuar medidas sobre el estado del campo en puntos separados espacialmente. Con el descubrimiento de la ecuación de Dirac, una ecuación cuántica y relativista para una partícula, sobrevino un gran impulso, al descubrirse que todos sus defectos (como la aparición de estados de energía negativa) podían ser eliminados reformulándola como una ecuación de campo. Este trabajo fue desarrollado por Wendell Furry, Robert Oppenheimer, Vladimir Fock y otros.

Un tercer factor determinante en la construcción de la teoría cuántica de campos fue la necesidad de manejar la estadística de los sistemas de muchos cuerpos idénticos consistente y fácilmente. En 1927, Jordan intentó extender la cuantización canónica de campos las funciones de onda de múltiples partículas, un proceso a veces llamado segunda cuantización. En 1928, Jordan y Eugene Wigner encontraron que el campo que describía los electrones, o cualquier otro fermión, debía ser expresado mediante operadores de creación y destrucción que anticonmutasen.

A pesar de sus éxitos iniciales, la teoría cuántica de campos estaba plagada de problemas teóricos muy serios. Muchas cantidades físicas en apariencia inocuas, como el desplazamiento energético del electrón en presencia de un campo electromagnético, daban como resultado al calcularlas un valor infinito, un resultado sin sentido. Este "problema de las divergencias", fue resuelto durante los años 40 por Bethe, Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson, a través de un proceso conocido como renormalización. Esta etapa culminó con el desarrollo de la moderna electrodinámica cuántica (QED, por Quantum Electrodynamics). Comenzando en los 50 con el trabajo de Yang y Mills, QED fue generalizada a una clase más general de teorías conocidas como teorías gauge. A lo largo de los años 60 y 70 se formuló el conjunto de teorías gauge conocido como el modelo estándar de la física de partículas, que describe todas las partículas elementales conocidas y sus interacciones. La parte de interacción débil del modelo estándar fue creada por Sheldon Glashow, para después ser añadido el mecanismo de Higgs por Steven Weinberg y Abdus Salam. La consistencia y renormalizabilidad de la teoría fueron demostradas por Gerardus 't Hooft y Martinus Veltman.

También durante los 70, una serie de desarrollos paralelos en el estudio de transiciones de fase en física de la materia condensada llevaron a Leo Kadanoff, Michael Fisher y Kenneth Wilson (extendiendo el trabajo de Ernst Stueckelberg, Andre Peterman, Murray Gell-Mann y Francis Low) a un conjunto de ideas y métodos conocido como grupo de renormalización. Esto resultó en una comprensión más profunda de el esquema de renormalización inventado en los años 40, y en una unificación de las técnicas de teoría cuántica de campos utilizadas en física de partículas y física de la materia condensada.

Principios de la teoría

Mecánica cuántica y campos clásicos

La mecánica cuántica describe los sistemas físicos mediante un espacio de estados posibles, y un conjunto de operadores que representan los observables físicos que pueden medirse. Estas son las herramientas que permiten predecir las probabilidades de transición y demás cantidades asociadas a un experimento de física cuántica.

Una teoría clásica de campos no es más que una teoría clásica cuyos grados de libertad vienen descritos por campos: funciones definidas en cada punto del espacio y que evolucionan en el tiempo, $\phi (\mathbf {r} ;t)$. Esto quiere decir que en cierto sentido estos sistemas poseen infinitos grados de libertad, uno por cada campo en cada punto del espacio.

El proceso de cuantización consiste en, dado un sistema clásico, definir para cada magnitud física un operador, y describir el espacio de Hilbert sobre el que estos actúan. En una teoría cuántica de campos, la cuantización sustituye los campos involucrados en la descripción del sistema por operadores. En particular, el valor del campo en cada punto $\phi (\mathbf {r} )$ del espacio es un grado de libertad independiente. Los infinitos grados de libertad se reflejan en una colección infinita de operadores, ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} )$.

Limitaciones de la mecánica cuántica

La teoría de campos cuántica amplía algunos aspectos de la mecánica cuántica. La ecuación de Schrödinger, en la forma en que comúnmente se la encuentra, es:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$

donde $\Psi$ es la función de onda de una partícula, m su masa, y V su energía potencial.

• Esta ecuación no es relativista, reduciéndose a la mecánica galileana en lugar de mecánica relativista en el límite clásico. Para ver esto, observemos que el primer término de la izquierda se corresponde sólo con la energía cinética newtoniana $p^{2}/2m$, en lugar de la expresión einsteniana $\omega _{p}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$. Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla invariante relativista, dando por resultado la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas ecuaciones tienen muchas propiedades insatisfactorias; por ejemplo, poseen espectros de energía negativos sin cota inferior, de modo que se vuelven inestables. Tales defectos son debidos a que estas ecuaciones no contemplan la posibilidad de crear o destruir partículas dinámicamente, que es un aspecto crucial de los campos cuánticos.

• La famosa relación masa-energía de Einstein predice que las partículas suficientemente masivas pueden decaer en varias partículas más ligeras, y las partículas suficientemente energéticas pueden combinarse para formar partículas masivas. Por ejemplo, un electrón y un positrón pueden aniquilarse para crear fotones. la ecuación de Schrödinger formulada de esta manera sólo contempla la descripción de un número finito e invariable de partículas, luego no es apropiada. Tales procesos deben considerarse dentro de una teoría cuántica verdaderamente relativista.

Segunda cuantización

Las nociones clásicas de partícula y campo comparadas con su contrapartida cuántica. Una partícula cuántica está deslocalizada: su posición se reparte en una distribución de probabilidad. Un campo cuántico es equivalente a una asamblea de partículas cuánticas.

El espacio de estados de un sistema de campos cuánticos consiste en todas las posibles excitaciones discretas de este campo. Este conjunto de excitaciones toma la forma de un espacio de Fock: un espacio que describe un sistema de partículas cuyo número es indeterminado. Así, los grados de libertad del campo cuántico quedan ligados a los de un conjunto de partículas que pueden crearse y destruirse.

Este espacio puede describirse como sigue. Dada una partícula aislada, su estado cuántico puede ser descrito respecto a alguna base $|\varphi _{1}\rangle$,$|\varphi _{2}\rangle$,... Dado un número arbitrario de partículas, basta con especificar el estado cuántico de cada una, debido al comportamiento n mecánica cuántica de las partículas indistinguibles.

Por ejemplo, en el caso de tres bosones, en los estados 1,2 y 4, solo existe un estado cuańtico posible: aquel que es totalmente simétrico

$|\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{4}\rangle _{S}=|\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{4}\rangle +|\varphi _{1}\varphi _{4}\varphi _{2}\rangle +\ldots$

La descripción más común de este estado es $|1,1,0,1,0,\ldots \rangle$. Así el estado se especifíca dando el número de partículas en cada posible estado ("números de ocupación"): 1 partícula en el primer estado, 1 en el segundo, 0 en el tercero, 1 en el cuarto, 0 en el quinto, etc. En el caso de múltiples fermiones se procede de manera idéntica, salvo que al obedecer el principio de exclusión de Pauli, los números de ocupación solo pueden valer 0 o 1.

Operadores creación y destrucción y campo cuántico

Dado un espacio de Fock como el descrito arriba, es sencillo definir sus operadores de creación y destrucción, simplemente añaden o restan partículas del total:

$\qquad {\hat {a}}_{2}|1,0,2,0,\ldots \rangle =|1,1,2,0,\ldots \rangle \quad {\textrm {;}}\quad {\hat {a}}_{3}^{\dagger }|2,1,2,0,\ldots \rangle =|2,1,1,0,\ldots \rangle$

La interpretación del operador campo ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} )$ es precisamente un operador que crea y destruye partículas en la posición $\mathbf {r}$. Esto se comprueba realizando un desarrollo en serie de Fourier, como por ejemplo en el caso de un campo escalar relativista:

${\hat {\phi }}(\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {k} }}}}}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r} }\left\{e^{-i\omega _{\mathbf {k} }t}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }+e^{i\omega _{\mathbf {k} }t}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }\right\}$

Los operadores de creación y destrucción están referidos a partículas en determinados estados de momento: ${\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }$ es el operador que crea una partícula con un momento bien definido $\hbar \mathbf {k}$, y viceversa para el operador de destrucción.

Las relaciones de conmutación de los operadores creación y destrucción están determinadas por la estadística del tipo de partículas descritas. Para bosones, los operadores ${\hat {a}}$ y ${\hat {a}}^{\dagger }$ verifican las relaciones de conmutación $[a_{n},a_{m}^{\dagger }]=\delta _{mn}$. En el caso de fermiones, estás son idénticas, salvo que se sustituyen conmutadores por anticonmutadores, $\{b_{n},b_{m}^{\dagger }\}=\delta _{mn}$, de manera que la diferencia de signo en esta relación dé cuenta de la diferencia de signo en la simetría como partículas idénticas. Estas relaciones de (anti-)conmutación se traducen en las relaciones de (anti-)conmutación canónicas para el operador campo y su momento conjugado ${\hat {\pi }}(\mathbf {r} )$, propias de todo sistema cuántico, del tipo ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} ){\hat {\pi }}(\mathbf {r} ')\pm {\hat {\pi }}(\mathbf {r} '){\hat {\phi }}(\mathbf {r} )=i\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$

Teorías de campos libres

El formalismo expuesto se aplica de forma directa al caso de campos no interactuantes, caso conocido como teoría de campo libre. Esto quiere decir que las partículas involucradas no mantienen ninguna interacción entre sí, y se corresponde directamente con el hecho de que la teoría de campos cuantizada es lineal. En el caso del caso del campo escalar relativista, el correspondiente hamiltoniano clásico es:

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {r} \left\{{\hat {\pi }}(\mathbf {r} )^{2}+\nabla ^{2}{\hat {\phi }}(\mathbf {r} )+m^{2}{\hat {\phi }}(\mathbf {r} )^{2}\right\}$

Donde los operadores de campo y su momento conjugado deben entenderse en el sentido de las distribuciones. Al cuantizar y sustituir los campos por operadores campo se obiene el correspondiente hamiltoniano cuántico:

${\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} }\omega _{\mathbf {k} }\,{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }$

que simplemente suma las energías correspondientes a cada frecuencia o "nivel", ponderada por el número de partículas en ese nivel.

Además de la relación entre las reglas de conmutación del campo y la estadística de las partículas, el tipo de partículas también depende de la teoría clásica que es cuantizada. Muchas de las teorías que se cuantizan usualmente fueron investigadas inicialmente como ecuaciones de Scrödinger relativistas para un cuerpo:

• Un campo escalar que obedece la ecuación de Klein-Gordon resulta en una teoría de bosones de spin 0.
• Un campo espinorial que obedece la ecuación de Dirac resulta en una teoría de fermiones de spin 1/2.
• Las ecuaciones del campo electromagnético clásico dan una teoría de bosones de spin 1, los fotones.

Teorías de campos en interacción

Para tratar con un sistema de partículas interactuantes, la teoría de campos que se cuantiza ha de ser no lineal. Esto se consigue añadiendo términos no cuadráticos al lagrangiano del campo. Esto significa más de dos campos multiplicando en el mismo punto, $\scriptstyle {\hat {\phi }}(\mathbf {r} )$ por ejemplo. Al cuantizar la teoría se obtienen términos extra en el hamiltoniano cuántico debidos a esta interacción, también no cuadráticos.

Otro punto importante de los campos interactuantes es que el número de partículas en general no se mantiene constante. Es decir, la interacción entre partículas induce la creación o destrucción de nuevas partículas. La relación de este hecho con los términos no-lineales es clara, ya que los términos cuadráticos o superiores necesariamente contienen el producto de operadores destrucción y creación, que son interpretables en términos del operador número de partículas. Eso implica que el hamiltoniano y el operador número de partículas no conmuten y de ahí que el número de partículas no se mantenga constante, ya que las leyes de conservación cuánticas requieren la conmutación con el hamiltoniano.

Para el cálculo de observables, cómo probabilidades de scattering en un experimento de física de partículas, no se conoce como tratar estos términos de forma exacta y se trabaja con ellos de manera perturbativa (Ver más abajo).

Enfoques axiomáticos

Las descripción anterior refleja el enfoque que la mayoría de físicos usan para describir la teoría cuántica de campos. Sin embargo este enfoque dista de ser matemáticamente riguroso y presenta diversos problemas formales. Desde la segunda mitad del siglo XX ha habido muchos intentos de caracterizar la teoría cuántica de campos en términos matemáticamente formales, resumiendo sus características en una serie de axiomas.

El primer tipo de enfoques axiomáticos, desarrollados en los años 50, incluyen sistemas de axiomas debidos a Wightman, Osterwalder-Schrader y Haag-Kastler. En estos sistemas es posible probar como teoremas la conservación de la simetría CPT o el teorema spin-estadística. Sin embargo, más allá de modelos con una dinámica trivial (teorías sin interacción, en 2 dimensiones, etc.) estas construcciones no se han visto realizadas.

Un segundo tipo de enfoques axiomáticos surgió durante los años 1980, y estaban basadas en conceptos geométricos. Esta línea de investigación, llamada teoría cuántica de campos topológica, se asocia principalmente con los trabajos de Michael Atiyah y Graeme Segal, y fue ampliada notablemente por Edward Witten, Richard Borcherds y Maxim Kontsevich. Sin embargo, la mayoría de los modelos físicamente relevantes de teorías cuánticas de campos, tales como el Modelo estándar, no son teorías cuánticas de campos de tipo topológico. Un ejemplo que sí cae en esta categoría es la que describe del efecto Hall cuántico fraccionario.

Describir una teoría cuántica de campos de relevancia en física mediante una axiomática y demostrar la existencia de dicha estructura es un problema central de la física matemática. De hecho, el caso de una teoría de Yang-Mills es el enunciado de uno de los problemas del milenio.

Aspectos clave

Diagramas de Feynman

Calcular las probabilidades en un experimento de scattering requiere un desarrollo perturbativo en términos la interacción cuántica. Este desarrollo involucra productos de operadores campo en mútiples puntos del espacio tiempo y suma a todos los puntos posibles. La técnica de diagramas de Feynman, desarrollada por Richard Feynman, permite realizar estos cálculos de manera sencilla, mediante un método muy eficaz que involucra sumar combinaciones de diagramas que representan todos los procesos cuánticos subyacentes posibles.

Por ejemplo, en el estudio de la dispersión Compton, este método transforma la expresión algebraica:

$M_{e\gamma \to e\gamma }=\langle {\frac {e^{2}}{2}}J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)J^{\nu }(y)A_{\nu }(y)+{\frac {e^{4}}{4!}}J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)J^{\nu }(y)A_{\nu }(y)J^{\rho }(z)A_{\rho }(z)J^{\sigma }(w)A_{\sigma }(w)+\ldots \rangle$

en una suma de diagramas:

Por ejemplo, la propagación de partículas queda representada por líneas internas en los diagramas, y la destrucción y aniquilación simultáneas de partículas en un punto dado, por vertices.

Renormalización

La presencia de una carga eléctrica polariza el vacío: los pares virtuales partícula-antipartícula apantallan la carga original. Así la carga desnuda diverge, por la presencia de estos infinitos pares virtuales. Sin embargo la carga que es medida es finita, por obtenerse sustrayendo ambos efectos infinitos.

Ya en las aplicaciones tempranas de la teoría cuántica de campos, se constató que el cálculo de ciertas cantidades utilizando este formalismo arrojaba un valor infinito. Esto se considera una respuesta sin sentido que demuestra alguna limitación esencial en el seno de la teoría. En particular, este desagradable resultado aparece casi siempre si se pretende aumentar la precisión de un cálculo cualquiera, más allá del orden más bajo de aproximación en la serie perturbativa.

Esto no invalida el esquema de la teoría cuántica de campos. El proceso de la renormalización es un método que se desarrolló para separar estas divergencias de las cantidades finitas susceptibles de medirse experimentalmente. La resolución del problema pasa por reconocer que los cálculos perturbativos implican extrapolar la teoría a distancias arbitrariamente cortas (o equivalentemente, a energías arbitrariamente altas), de ahí el nombre de divergencias ultravioletas. Al identificar esta extrapolación como la fuente del resultado infinito, puede examinarse qué parte de este resultado corresponde verdaderamente a la cantidad física, cuyo valor ha de ser finito.

Teorías gauge

En el electromagnetismo clásico, el campo electromagnético se describe utilizando grados de libertad redundantes. A éste fenómeno se le denomina invariancia gauge. También la teoría clásica de campos de un campo espinorial, que sigue la ecuación de Dirac, posee grados de libertad redundantes: la fase del campo. Precisamente, al acoplar ambas teorías y dar cuenta simultáneamente de todos esos grados de libertad adicionales, se obtiene al cuantizar la electrodinámica cuántica.Este es el primer ejemplo de una teoría gauge, donde la fase del campo juega el papel del grupo de simetría gauge U(1).

La generalización de este ejemplo es directa, sin más que considerar un grupo de simetría gauge cualquiera. De este modo se obtiene una teoría que describe un conjunto de bosones intermediarios (generalizando al fotón) que actúan como portadores de la interacción entre cualquier partícula cargada. En este formalismo, una partícula está cargada si posee grados de libertad redundantes acoplados al campo gauge. Estas teorías han resultado ser muy exitosas en la formulación del modelo estándar de las partículas fundamentales.

Referencia

Bibliografía

• Bogoliubov, Nikolay, Shirkov, Dmitry (1982). Quantum Fields. Benjamin-Cummings Pub. Co. ISBN 0805309837. 
• Itzykson, Claude and Zuber, Jean Bernard (1980). Quantum Field Theory. McGraw-Hill International Book Co.,. ISBN 0-07-032071-3. 
• Yndurain, Francisco Jose; Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory ( Springer, 1edition 1996), ISBN: 978-3540604532.

Enlaces externos

• Fields por Warren Siegel (Gratis pero enorme: 800 pp.)

Véase también

• Segunda cuantización
• Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo
• Teoría de campo de gauge
• Función Vértice