Número triangular

Se muestran los seis primeros números triangulares, así como su término general. Además de la denotación expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir, el 10(4).

Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón.

Ecuación general

Como cada fila es una unidad más larga que la anterior, se puede ver que un número triangular es igual a la suma de números enteros consecutivos; Así, el n-ésimo número triangular es la suma de los números naturales desde 1 hasta n.

La fórmula para el n-ésimo número triangular es:

$1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)/2\,$

También es igual al coeficiente binomial

${n+1 \choose 2}$

Suma de números triangulares consecutivos: número cuadrado

La suma de dos números triangulares consecutivos, T_n y T_n-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Demostración

Sean:

$T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,$

$T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,$

sumando:

$T_{n}+T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,$

es decir:

$T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\,$

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con T₃ = 6 y T₄ = 10.

Efectivamente,

$T_{3}+T_{4}=6+10=16=4^{2}\,$

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

$T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2{\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,$

$2T_{n}=n(n+1)\,$

que es la expresión buscada. En la figura se ve cómo del número triangular T₄ resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

Suma de los primeros n números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el n-ésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Su expresión es:

► S = 1/6 n (n+1) (n+2)

Gauss y su teorema

En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat.

El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2k − 1 es 4095 (ecuación Ramanujan-Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la progresión geométrica. El matemático polaco Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era falso. Los matemáticos chinos Fang y Chen demostraron esta inferencia en 2007.​​

Criptografía Iniciática

Los números triangulares se utilizaron como una forma de cifrar datos para ser interpretados o entendidos miles de años después. Como una manera de preservar los conocimientos de los ancestros, a la usanza de los escenianos en cuanto a los rollos de Qumram a orillas del Mar Muerto (John Allegro); que fueron escritos en papiros, guardados en cilindros de cobre, luego en vasijas y finalmente en cuevas para resistir el tiempo. Solamente que ahora es una enseñanza guardada en números que resisten a las traducciones, pues las interpretaciones de un idioma a otro sufre cambios de concepto, pero los números no cambian.

El Nuevo Testamento tiene tres números triangulares únicamente: el 153 o sea (17 X 18)/2 sobre la segunda pesca milagrosa (San Juan), el 276 o sea (23 X 24)/2 sobre los que iban en el barco junto con San Pablo (Hechos)quienes tiraron el trigo al mar y salieron del ayuno con pan... Y el más enigmático, el 666 (del Apocalípsis 13,18) pues es doblemente triangular (8 X 9)/2= 36 ; y (36 X 37)/2= 666. La apertura de los Colegios Inciáticos en la Era de Aquarius devela este sello indicando que cada marca de número triangular señala un símbolo del cristianismo primitivo: pan, peces y el 666 sería el vino, es decir la razón, el anticristo opuesto a la fe, el licor y las drogas. El 666 se cita también en el Viejo Testamento, como símbolo de la fortuna del Rey David: materialismo, dinero, capitalismo.

Referencias bibliográficas. Matyla Gyka. Estética de las Proporciones, Los Ritos, Los Mitos. Dr. Serge Raynaud de la Ferriere. Propósitos Psicológicos, Arte en la Nueva Era.

Enlaces externos

• Sobre Trygve Nagell (1895-1988), el matemático noruego que comprobó la fórmula que Srinivasa Ramanujan (1887-1920), matemático indio, ya había hipotetizado.
• Sobre Kazimierz Szymiczek
• Foto de Kazimierz Szymiczek