Número algebraico

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0\,$

Donde:

$n>0(a_{n}\neq 0)$, es el grado del polinomio.

$a_{i}\in \mathbb {Z}$, son los coeficientes del polinomio que deben ser números enteros.

Ejemplos

• Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de bx - a = 0.
• Algunos números irracionales como 2^1/2 (la raíz cuadrada de 2) y 3^1/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque son soluciones de x² - 2 = 0 y 8x³ - 3 = 0, respectivamente.
• No todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e.

Clasificación de los complejos

• Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.
• Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n. Por lo dicho anteriormente, los números racionales no pueden ser números algebraicos de primer grado, pues no existe por ejemplo, una ecuacion polinomica de grado uno con coeficientes enteros, cuya solución sea la raiz cuadrada de 2.

Propiedades de clausura

1. La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un cuerpo matemático.
2. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.
3. Puede demostrarse que si los coeficientes a_i son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el campo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales.

Enteros algebraicos

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con a_n = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×2^1/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Extensiones algebraicas

Tanto la noción de número algebraico como la de entero algebraico pueden ser útilmente generalizadas en otros campos, además del campo de los complejos, véase extensión algebraica

En general, si tenemos dos cuerpos $(K,+,\cdot )$ y $(L,+,\cdot )$ de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que $\alpha \in L$ es algebraico sobre $K$ si existe un polinomio $p\in K[x]$ del que $\alpha$ es raíz ($p(\alpha )=0$).