Teoría ergódica

En matemáticas, un shift o transformación que preserva la medida $T$ en un espacio de probabilidad, se dice que es ergódico si un conjunto medible que es invariante bajo $T$, tiene medida 0 ó 1. Un antiguo término para esta propiedad era métricamente transitivo.

Teorema ergódico de Birkhoff

Este teorema relaciona el promedio temporal y el promedio en el espacio de una función. Para ello es necesario definir previamente dichos conceptos:

• Considere el promedio en el tiempo de una función f de "buen-comportamiento" (well-behaved), definido como el promedio (si existe) sobre iteraciones de $T$ empezando en algún punto inicial $x_{0}$:

${\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)$

• Considere también el promedio en el espacio de f, que se define como:

${\bar {f}}=\int f\,d\mu$

donde μ es una medida en el espacio de probabilidad.

En general, el promedio en el tiempo y el promedio en el espacio no son necesariamente iguales.

Pero si la transformación es ergódica, y la medida es invariante, entonces el promedio en el tiempo es igual al promedio en el espacio excepto quizá para un conjunto de medida 0. Éste es el famoso Teorema ergódico en forma abstracta, elaborado por George David Birkhoff.

El Teorema de Weyl es un caso especial del Teorema ergódico, que se basa en la distribución de probabilidad en el intervalo unitario [0,1].