Campo electromagnético

Un Campo electromagnético es un campo físico, de tipo tensorial, que afecta a partículas con carga eléctrica.

Fijado un sistema de referencia podemos descomponer convencionalmente el campo electromagnético en una parte eléctrica y en una parte magnética. Sin embargo, un observador en movimiento relativo respecto a ese sistema de referencia medirá efectos eléctricos y magnéticos diferentes, lo cual ilustra la relatividad de lo que llamamos parte eléctrica y parte magnética del campo electromagnético. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo eléctrico ni el "vector" de inducción magnética se comportan genuinamente como magnitudes físicas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que sí existen leyes de transformación físicamente esperables.

Tensor campo electromagnético

En electrodinámica clásica y sobre todo en teoría de la relatividad el campo electromagnético se representa por un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

$\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{00}&F_{01}&F_{02}&F_{03}\\F_{01}&F_{11}&F_{12}&F_{13}\\F_{02}&F_{21}&F_{22}&F_{23}\\F_{03}&F_{31}&F_{32}&F_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

Fuerza de Lorentz

La fuerza de Lorentz puede escribirse de forma mucho más sencilla gracias al tensor de campo electromagnético que en su escritura vectorial clásica:

$\mathbf {f} =e(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ (expresión vectorial)

$f_{\alpha }=\sum _{\beta }e\ F_{\alpha \beta }\ u^{\beta }\,$ (expresión tensorial relativista)

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell también toman formas muy sencillas en términos del tensor de campo electromagnético:

$F_{,\gamma }^{\alpha \beta }+F_{,\alpha }^{\beta \gamma }+F_{,\beta }^{\gamma \alpha }={\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\frac {\partial F^{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}+{\frac {\partial F^{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=0$

$F_{,\beta }^{\alpha \beta }={\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }$

Donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y donde la magnitud J^α es el cuadrivector de corriente que viene dado por:

$J^{\alpha }={\begin{pmatrix}c\rho &J_{x}&J_{y}&J_{z}\end{pmatrix}}$

Potencial vector

La forma de las ecuaciones de Maxwell permite que sobre un dominio simplemente conexo (estrellado) el campo electromagnético puede expresarse como la derivada exterior de un potencial vector, lo cual facilita enormemente la resolución de dichas ecuaciones. Usando el convenio de sumación de Einstein tenemos:

$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} =\mathrm {d} (A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha })=\mathrm {d} (A_{\alpha })\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\right)\ \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$

Relación que escrita más explícitamente en componentes es:

$\mathbf {F} ={\frac {1}{2!}}F_{\alpha \beta }\mathrm {d} x^{\alpha }\land \mathrm {d} x^{\beta }\Rightarrow F_{\alpha \beta }={\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}$

Campo electromagnético cuántico

En teoría cuántica de campos el campo electromagnético se modeliza mediante una aplicación que asigna a cada región del espacio-tiempo un operador autoadjunto. Es decir el campo electromagnético promedio de una región se modeliza por un operador autoadjunto, así cada una de las componentes del potencial vector:

$\mathbf {A} _{\Omega }^{\mu }|\phi \rangle =\int _{\Omega \subset \mathbb {R} ^{4}}{\tilde {\mathbf {A} }}^{\mu }(\phi )\ d^{4}\mathbf {x}$

El valor del campo en un punto no está necesariamente definido. Si se considera un punto del espacio tiempo y se considera una región arbitrariamente pequeña entorno a él, puede calcularse el límite de la expresión anterior a medida que la región tiende a cero. Si el límite existe puede identificarse el operador con el campo electromagnético en dicho punto, sin embargo, para muchas formas del campo el límite no puede existir. Esto se corresponde con el hecho de que en general debido al principio de incertidumbre no es posible determinar el valor del campo en un único punto, sino sólo su promedio en una pequeña región. Cuando dos regiones del espacio-tiempo A y B están desconectadas causalmente, es decir, ninguna pertence al futuro causal de la otra, entonces sus respectivos operadores de campo electromagnético conmutan:

$B\cap J^{+}(A)=B\cap J^{-}(A)=\varnothing \Rightarrow \qquad [\mathbf {A} _{A}^{\mu },\mathbf {A} _{B}^{\nu }]=0$

Referencias

• Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.

Véase también

• Electromagnetismo, interacción electromagnética
• Energía electromagnética
• Radiación electromagnética

Enlaces externos

• Campos electromagnéticos, resumen de GreenFacts de un informe científico de la DG SANCO de la Comisión Europea.