Diferencia entre revisiones de «Integral elíptica»

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Revisión del 22:46 11 sep 2009

Una integral elíptica de primera especie es un caso particular de la integral elíptica. Existen integrales elípticas de primera especie, completas e incompletas. Las primeras dependen de una sola variable y las segundas dependen de dos variables.

Integral elíptica completa de primera especie

La integral elíptica completa de primera especie K se define como:

K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}

y puede calcularse por medio de la media aritmética geométrica, o mediante la serie de Taylor:

K(x)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}x^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}x^{6}+\dots \right]

La serie anterior converge para $|x|<1\;$ .

Integral elíptica incompleta de primera especie

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como:

u=F(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}=F_{x}(\varphi )

En este caso el parámetro $\varphi =am(u)$ se llama "amplitud" y si se toma x como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior F. Las funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta amplitud.

Transformación de Landen

La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ₁ y una nuevo parámetro k₁, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante:

$k_{1}={\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\qquad \tan \varphi ={\frac {\sin 2\varphi _{1}}{k+\cos 2\varphi _{1}}}$

Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k₁,φ₁) y (k,φ) dada por:

$F(k,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1+k}}\int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\theta _{1}}{\sqrt {1-k_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}}}}$

Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:

$k_{i}={\frac {2{\sqrt {k_{i+1}}}}{1+k_{i}}}\qquad \tan \varphi _{i}={\frac {\sin 2\varphi _{i+1}}{k+\cos 2\varphi _{i+1}}}$

Entonces tenemos que:

$F(k_{0},\varphi _{0})={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\Phi }{2}}\right)$

Donde:

\Phi =\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}

Véase también

@@ Línea 19: / Línea 19: @@
 La integral elíptica incompleta de primera especie ''F'' se define como:</br>
 </br>
-:<math> u = F(x,\varphi) = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \text{sen}^2 \theta}} =
+:<math> u = F(x,\varphi) = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} =
-\int_{0}^{\text{sen }\varphi} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} } = F_x(\varphi)</math>
+\int_{0}^{\sin \varphi} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} } = F_x(\varphi)</math>
 </br>
 En este caso el parámetro <math>\varphi = am(u)</math> se llama "amplitud" y si se toma ''x'' como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior ''F''. Las [[función elíptica de Jacobi|funciones elípticas de Jacobi]] se definen a partir de esta amplitud.
@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 ==Transformación de Landen==
 La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ<sub>1</sub> y una nuevo parámetro ''k''<sub>1</sub>, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro ''k'' mediante:
-{{ecuación|<math>k_1 = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} \qquad \tan \varphi = \frac{\text{sen }2\varphi_1}{k+\cos 2\varphi_1}</math>||left}}
+{{ecuación|<math>k_1 = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} \qquad \tan \varphi = \frac{\sin 2\varphi_1}{k+\cos 2\varphi_1}</math>||left}}
 Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (''k''<sub>1</sub>,φ<sub>1</sub>) y (''k'',φ) dada por:
-{{ecuación|<math>F(k,\varphi) = \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\text{sen}^2 \theta}} =
+{{ecuación|<math>F(k,\varphi) = \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}} =
-\frac{1}{1+k} \int_0^{\varphi_1} \frac{d\theta_1}{\sqrt{1-k_1^2\text{sen}^2 \theta_1}}</math>||left}}
+\frac{1}{1+k} \int_0^{\varphi_1} \frac{d\theta_1}{\sqrt{1-k_1^2\sin^2 \theta_1}}</math>||left}}
 Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:
 {{ecuación|<math>k_i = \frac{2\sqrt{k_{i+1}}}{1+k_i} \qquad
-\tan \varphi_i = \frac{\text{sen }2\varphi_{i+1}}{k+\cos 2\varphi_{i+1}}</math>||left}}
+\tan \varphi_i = \frac{\sin 2\varphi_{i+1}}{k+\cos 2\varphi_{i+1}}</math>||left}}
 Entonces tenemos que:
 {{ecuación|<math>F(k_0,\varphi_0) = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}}
-\int_0^\Phi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\text{sen}^2 \theta}} = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}}
+\int_0^\Phi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}}
 \ln \tan \left( \frac{\pi}{4}+ \frac{\Phi}{2} \right)</math>||left}}
 Donde: