Media aritmético-geométrica

La media aritmético-geométrica ( AGM arithmetic-geometric mean en inglés) M(x, y) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente forma. Primero obtenemos la media aritmética de x e y denominándola a₁, i.e. a₁ = (x+y) / 2. Después construimos la media geométrica de x e y denominadola g₁, i.e. g₁ es la raíz cuadrada de xy. Ahora podemos iterar esta operación con a₁ en lugar de x y g₁ en lugar de y. De esta forma , se definen dos sucesiones (a_n) y (g_n) :

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}\quad {\mbox{y}}\quad g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}$

Ambas sucesiones convergen al mismo número, denominado media aritmética geométrica M(x, y) de x e y.

Se puede demostrar además que:

$M(x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}$

donde K(x) es la integral elíptica completa de primera especie. Otra identidad interesante en la que interviene la media aritmética geométrica es la siguiente:

${\frac {1}{M(x,y)}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(a^{2}+t^{2})(b^{2}+t^{2})}}}$