Gravimetría (geofísica)

La gravimetría consiste en la medición del campo de gravedad. Se suele emplear cuando el objeto de estudio es el campo de gravedad o las variaciones de densidad responsables de su variación.

Unidades de medida

La gravedad se suele medir en unidades de aceleración. En el sistema SI la unidad de aceleración corresponde a 1 metro por segundo al cuadrado (simbolizándose: m/s²). También puede expresarse en las unidades propias del campo gravitatorio, es decir en Newton por kilogramo (N/kg). Otra unidad empleada, sobre todo en gravimetría, es el gal que equivale a 1 centímetro por segundo al cuadrado (cm/s²).

Gravímetros

Un péndulo simple puede se empleado como instrumento de medición de la aceleración de la gravedad

Los instrumentos empleados para realizar mediciones de la gravedad se denominan gravímetros o gradiómetros. La mayor parte de los gravímetros emplean resortes cuyo efecto se opone a la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa. Existen dos clases de gravímetros:

• Gravímetros absolutos: permiten conocer el valor de g directamente mediante la determinación de una longitud y/o un tiempo.

• Gravímetros relativos: estos instrumentos únicamente permiten conocer la diferencia relativa de g entre dos puntos o entre dos tiempos.

Péndulos

Son los gravímetros más antiguos y pueden ser tanto relativos como absolutos.

Péndulo matemático

Un péndulo matemático es un péndulo ficticio. Está formado por una masa puntual m sujeta por un hilo de masa despreciable y longitud l, que puede oscilar sin fricción en torno a su punto de suspensión o pivote. El movimiento de la masa está restringido a describir un arco circular alrededor del punto de equilibrio. La coordenada para un punto de la trayectoria es $s=l\Phi$, donde $\Phi$ es el ángulo de deflección del hilo.

La atracción de la gravedad g ejerce una fuerza sobre la masa. Si la masa no se encuentra en equilibrio existirá una componente tangencial $gsin(\Phi )$ dirigida hacia la posición de equilibrio. La aceleración de la masa se puede obtener derivando dos veces $s=l\Phi$. La ecuación de movimiento resulta:

${\ddot {s}}=l{\ddot {\Phi }}=-gsin(\Phi )\approx -g\Phi \Leftrightarrow {\ddot {\Phi }}+{\frac {g}{l}}\Phi \approx 0$

donde se utilizó la aproximación para ángulos pequeños. Esta ecuación corresponde a la de un oscilador armónico. Su solución general es $\Phi (t)=acos(\omega t)+bsin(\omega t)$. En este caso es importante la expresión de la frecuencia $\omega$ que es la base de las mediciones de gravedad:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}$

Por lo tanto es posible conocer el valor de g simplemente conociendo la longitud del péndulo y su período de oscilación:

$g=l\omega ^{2}=l{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}$

Una determinación de g llevada a cabo de esta forma representaría una medición absoluta.

A partir de esta expresión es posible estimar los errores absolutos y relativos al calcular g.

El error absoluto será:

$dg=-{\frac {2}{T}}{\left({\frac {2\pi }{T}}\right)}^{2}ldT+{\left({\frac {2\pi }{T}}\right)}^{2}dl$

El error relativo estará dado por:

${\frac {dg}{g}}=-2{\frac {dT}{T}}+{\frac {dl}{l}}$

Si se desea incluir en la expresión de g la deflexión inicial $\Phi _{0}$, no deben ser despreciados los términos no lineales en ${\ddot {\Phi }}+{\frac {g}{l}}\Phi \approx 0$. La forma de resolver esta última ecuación incluyendo los términos no lineales es mediante integrales elípticas. El período de oscilación resulta:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {g}{l}}}(1+{\frac {\Phi _{0}^{2}}{16}}+...)$

Véase también

• Anomalía gravitatoria
• Geodesia