Tangente (trigonometría)

En trigonometría la tangente de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

O también como la relación entre el seno y el coseno:

$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\,$

Representación gráfica

Archivo:FunTriR001.svg

Tangente de una suma o de una resta de ángulos

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocidas para el seno y el coseno

• Sabiendo que

$\forall \,\phi ,\theta \in \mathbb {R}$

• Se sabe que la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, entonces

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\sin(\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}$

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas tenemos que

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta }}$

• Divido al numerador y al denomidador por $\cos \phi \cos \theta \,$ obteniendo

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}$

• Separando la suma y la resta queda

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\sin \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}+{\cfrac {\cos \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}{{\cfrac {\cos \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}-{\cfrac {\sin \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}$

• Simplificamos cada fracción, entonces

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\sin \phi }{\cos \phi }}+{\cfrac {\sin \theta }{\cos \theta }}}{1-{\cfrac {\sin \phi \sin \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}$

• Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente obtenemos

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }}$

Tangente de la diferencia de dos ángulos

• Si hacemos

$\tan \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\tan \phi +\tan(-\theta )}{1-\tan \phi \tan(-\theta )}}$

• obtenemos la resta. Como la tangente es impar, el signo sale

$\tan \left(\phi -\theta \right)={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}$

Forma resumida

$\tan \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\tan \phi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \phi \tan \theta }}$

Tangente de un ángulo doble

Tenemos que

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\frac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }}$

Hagamos $\phi =\theta \,$ entonces

$\tan \left(2\phi \right)={\frac {2\tan \phi }{1-\tan ^{2}\phi }}$

Véase también

• Trigonometría
• Arcocoseno
• Sinusoide
• Tangente
• Función matemática
• Función par
• Función impar