Diferencia entre revisiones de «Teorema de la función implícita»
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Se consideran el punto <math>\, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b)</math> y la ecuación <math>\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)=0</math>, siendo <math>\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)</math> una función de <math>\, n+1</math> variables que satisface las siguientes condiciones: |
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# <math>\, F(P)=0</math> |
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# En un entorno del punto <math>\, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b)</math> existen y son continuas las derivadas parciales <math>\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial F}{\partial x_n}, \frac{\partial F}{\partial z}</math>. |
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# <math>\frac{\partial F}{\partial z}</math> en <math>P</math> es distinto de cero. |
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Entonces existe en un entorno del punto <math>\, Q=(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> una única función <math>\, z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> cuyas derivadas parciales respecto de <math>\, x_1,x_2,\dots,x_n</math> son continuas en un entorno de dicho punto <math>Q</math> y tal que <math>\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1,x_2,\dots,x_n))=0</math>. |
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Existen versiones de este teorema con hipótesis algo más generales. |
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==Véase también== |
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*[[Teorema de la función inversa]] |
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Revisión del 18:52 10 oct 2009
En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables permite definir a una de ellas como función de las demás.
Por ejemplo, dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y=f(x).
Enunciado
Se consideran el punto y la ecuación , siendo una función de variables que satisface las siguientes condiciones:
- En un entorno del punto existen y son continuas las derivadas parciales .
- en es distinto de cero.
Entonces existe en un entorno del punto una única función cuyas derivadas parciales respecto de son continuas en un entorno de dicho punto y tal que .
Existen versiones de este teorema con hipótesis algo más generales.