Igualdad matemática

En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales y si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.

Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y:

x = y si y sólo si x es igual a y.

Consideremos un conjunto A, la igualdad es una relación que es reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Es la única relación sobre A que posee todas estas propiedades. Eliminando el requerimiento de antisimetría conduce a la noción de relación de equivalencia. Conversamente, dada una relación de equivalencia R, podemos formar el conjunto cociente A/R, y la relación de equivalencia 'descenderá' a igualdad en A/R.

Una igualdad matemática es la expresión de que dos cantidades son equivalentes.

Reglas:

1) Reflexiva: x = x 2) Simétrica: Si x = y entonces y = x. 3) Transitiva: Si x = y , y = z entonces x = z.

Las igualdades pueden ser:

1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si 3x = 6, solo se cumple la igualdad si x=2.

2) Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo:

( x - 4 )² = x²-8x+16 es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de x.

Cálculo de predicados de primer orden con igualdad

La lógica de predicados contiene los axiomas estándar para la igualdad que formalizan la ley de Leibniz, propuestos por el filósofo Gottfried Leibniz en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas propiedades. Para formalizar esto, debemos poder decir:

dados cualesquiera x y y, x = y si y solamente si, dado cualquier predicado P, P(x) si y sólo si P(y).

Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:

dados cualesquiera x y y, si x es igual a y, entonces P(x) si y sólo si P(y).

Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si x y y son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:

dado cualquier x, x es igual a x.

Entonces si x y y tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado P dado por P(z) si y sólo si x = z. puesto que P(x) vale, P(y) deben también valer, luego x = y.

La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: "≠"

Origen de la notación

El signo = (igual), utilizado para indicar el resultado de una operación aritmética, fue ideado por el matemático Robert Recorde en 1557.

Cansado de escribir "is equalle to" (sic), Recorde, empleó el símbolo ——— en su trabajo Whetstone of Witte. Con la publicación de este libro, Recorde introdujo por primera vez el álgebra en Inglaterra.

Igualdades notables

Identidades muy utilizadas como son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y el producto “ suma por diferencia”:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Véase también

• La igualdad extensional

Enlaces externos

• Signos de relación primitivos
• imagen de la página de "The Whetstone of Witte" en que se introdujo el signo igual