Teorema de Ptolomeo

Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo solamente si es cíclico.

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}$

Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

En todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual a la suma del producto de sus diagonales.

Demostraciones

Demostración geométrica

Demostración del teorema de Ptolomeo

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es similar a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es claramente válida solo para cuadriláteros concíclicos simples, si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

pero dejamos al lector que hay mucas formas de demostrar este teorema hay otro teorema que es el teorema generalizado de tolomeo que se llama teorema de casey ademas el teoreamde tolomeo se puede demostrar con metodos de inversion geometrico con respecto a cualquier vertice de in cuadrilatero por que ya que es ciclico