Módulo de rigidez

El módulo de elasticidad transversal, módulo de rigidez o módulo cortante es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experienta un material elástico cuando se aplican esfuerzos cortantes.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal tiene el mismo valor para todas las direcciones del espacio.

Definición

fig. 1 Esquema para la medición del esfuerzo cortante.

Experimentalmente el módulo de elasticidad transversal (o módulo cortante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:

$G:={\frac {\tau _{m}}{\Theta }}\approx {\frac {F/A}{\Delta x/h}}={\frac {Fh}{\Delta xA}}$

Materiales isótropos lineales

Para un material isótropo elástico lineal el módulo de elasticidad transversal está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante la relación:

$G={\frac {E}{2(1+\nu )}}={\frac {\tau _{ij}}{2\varepsilon _{ij}}}$

Donde:

$E\,$ es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.

$\nu \,$ es el coeficiente de Poisson.

$\tau _{ij},\varepsilon _{ij}$ son respectivamente la tensión tangencial y la deformación tangencial sobre el plano formado por los ejes X_i y X_j.

Materiales anisótropos

Los materiales elásticos lineales anisótropos se caracterizan por presentar diferentes valores de las constantes elásticas según la dirección en la que se aplican las fuerzas. En general, en un material anisótropo al aplicar esfuerzos tangentes a una superficie aparecen deformaciones normales a ésta. Eso significa que los modos transversales y longitudinales no están desacoplados y por esa razón los conceptos de módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal no se pueden generalizar adecuadamente, en todos los casos.

Materiales ortotrópicos

Un caso particular de material anisótropo donde sí se puede hablar de módulos de elasticidad longitudinales y transversales son los llamados materiales ortotrópicos; la madera es un ejemplo de material ortotrópico, frecuentemente usado en construcción. En los materiales ortotrópicos los modos transversales y longitudinales de deformación están desacoplados. Eso permite identificar claramente módulos de elasticidad transversal y módulos de elasticidad longitudinal. Para un material ortotrópico general pueden definirse tres módulos de elasticidad longitudinales básicos (E_x, E_y', E_z) y tres módulos de elasticidad transversal (G_xy, G_xz', G_yz). Estos últimos se definen como:

$G_{xy}={\frac {\sigma _{xy}}{2\varepsilon _{xy}}}\qquad G_{xz}={\frac {\sigma _{xz}}{2\varepsilon _{xz}}}\qquad G_{yz}={\frac {\sigma _{yz}}{2\varepsilon _{yz}}}$

Para un material como la madera las coordenadas X, Y y Z anteriores se toman de la siguiente manera:

• el eje X está alineado con la dirección longitudinal de la fibra.
• el eje Y se toma perpendicular a los anillos de la sección transversal.
• el eje Z se toma tangente a los anillos de la sección transversal.

Los módulos de elasticidad transversal en estas tres direcciones son diferentes para la madera y pueden llegar a presentar grandes diferencias de valor entre ellas.

Valores para varios materiales

Para ver el valor del módulo de elasticidad transversal para varios materiales consultar los valores del módulo de elasticidad transversal del Anexo:Constantes elásticas de diferentes materiales.

Véase también

• Coeficiente de Poisson
• Módulo de elasticidad longitudinal
• Constante elástica

Fórmulas de conversión
Los materiales elásticos lineales isótropos homogéneos tienen sus propiedades elásticas únicamente determinadas por dos módulos cualesquiera de los especificados anteriormente, por lo tanto, cualquier otro módulo de elasticidad puede ser calculado de acuerdo a estas fórmulas.
	$(\lambda ,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(E,\,\nu )$	$(K,\,\nu )$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda +{\frac {2G}{3}}$	${\frac {EG}{3(3G-E)}}$			$\lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}$	${\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\frac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\frac {4G}{3}}$
$E=\,$	$G{\frac {3\lambda +2G}{\lambda +G}}$		$9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}$	${\frac {9KG}{3K+G}}$	${\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		$G{\frac {3M-4G}{M-G}}$
$\lambda =\,$		$G{\frac {E-2G}{3G-E}}$		$K-{\frac {2G}{3}}$		${\frac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\frac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
$G=\,$			$3{\frac {K-\lambda }{2}}$		$\lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}$		${\frac {E}{2(1+\nu )}}$	$3K{\frac {1-2\nu }{2(1+\nu )}}$	${\frac {3KE}{9K-E}}$
$\nu =\,$	${\frac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\frac {E}{2G}}-1$	${\frac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\frac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\frac {3K-E}{6K}}$	${\frac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	$\lambda +2G\,$	$G{\frac {4G-E}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\frac {4G}{3}}$	$\lambda {\frac {1-\nu }{\nu }}$	$G{\frac {2-2\nu }{1-2\nu }}$	$E{\frac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$3K{\frac {1-\nu }{1+\nu }}$	$3K{\frac {3K+E}{9K-E}}$