Transformada de Fourier

En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

$g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\xi \,x}dx$

Donde f es $L^{1}$, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

${\mathcal {F}}[f],{\hat {f}},F(f),{\mathcal {F}}\{f\}$.

Definición formal

Sea f una función Lebesgue integrable:

$f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ o $f\in L^{1}(\mathbb {C} )$

La transformada de Fourier de f es la función

${\mathcal {F}}\{f\}\ \ :\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

${\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}\}=f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,$

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

${\mathcal {F}}\{a\cdot f+b\cdot g\}=a\,{\mathcal {F}}\{f\}+b\,{\mathcal {F}}\{g\}.$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

• Cambio de escala:

${\mathcal {F}}\{f(at)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}{\bigg (}{\frac {\xi }{a}}{\bigg )}$

• Traslación:

${\mathcal {F}}\{f(t-a)\}(\xi )=e^{-i\xi a}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )$

• Traslación en la variable transformada:

${\mathcal {F}}\{f\}(\xi -a)={\mathcal {F}}\{e^{iat}f(t)\}(\xi )$

• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

${\mathcal {F}}\{f'\}(\xi )=i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )$

• Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable

${\mathcal {F}}\{f\}'(\xi )={\mathcal {F}}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )$

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente:

$(f*g)(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\cdot g(x-y)\,dy.$

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}.$

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

Tabla de Transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$, siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de $\textstyle {\frac {1}{2\pi }}$ en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Función	Transformada
$\delta (x)\!$	$1\!$
$u(x)\!$	$1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))\!$
$\sin(w_{0}x)\!$	$-i\pi [\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0})]\!$
$\cos(w_{0}x)\!$	$\pi [\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0})]\!$
$1\!$	$2\pi \delta (w)\!$
$e^{-at}u(t),\mathrm {Re} (a)>0\!$	${\frac {1}{a+iw}}\!$
$e^{-a|t|},\!$	${\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\!$
$te^{-at}u(t),\mathrm {Re} (a)>0\!$	${\frac {1}{(a+iw)^{2}}}\!$
$x(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!$	$\mathrm {sinc} ({\frac {wT_{1}}{\pi }})=2{\frac {\sin(wT_{1})}{w}}$
$x(t)=\mathrm {tri} ({\frac {t}{2T_{1}}})={\begin{cases}1-{\frac {|t|}{T_{1}}},&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!$	$\mathrm {sinc} ^{2}({\frac {wT_{1}}{\pi }})$

Teorema de inversión

La idea del teorema de inversión es que dada una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:

$(1)\quad {\check {\hat {f}}}=f\quad$

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:

Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función f en este espacio, vale el teorema de inversión (1).

Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en R e infinitamente diferenciables tales que para todo m, n enteros no negativos

$\sup _{x\in \mathbb {R} }|x^{m}\varphi ^{(n)}(x)|<\infty ,$

donde φ⁽ⁿ⁾ es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo ${\mathcal {S}}$.

Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

${\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}.$

Además vale la fórmula de inversión:

${\check {\hat {f}}}=f,\quad f\in {\mathcal {S}}.$

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

$[T\varphi ](x)=\sum _{k=0}^{m}P_{k}(x){\bigg (}{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\varphi (x).$

donde P_k son polinomios.

Debido a las propiedades

${\mathcal {F}}\{{\frac {d\varphi }{dx}}\}(\xi )=i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi )\quad$

y

${\mathcal {F}}\{-ix\cdot \varphi (x)\}(\xi )={\frac {d}{d\xi }}{\bigg (}{\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi ){\bigg )},$

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.

Propiedades de homomorfismo

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

1. Si $g(x)=f(x-y)$ entonces ${\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)$
2. La transformada de Fourier es un morfismo:

${\hat {(f*g)}}(k)={\hat {f}}(k)\cdot {\hat {g}}(k)$

Es decir, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

Series de Fourier de senos y cosenos

Dada una función en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en (−pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendrá una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial interés. Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la sección 1.3, se puede elegir la extensión de manera que tengamos una función par y, en ese caso, la serie de Fourier sólo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la función original y sus coeficientes se calculan por la fórmula (1.6) (en la que sólo interviene la función dada en el intervalo original). Del mismo modo, si elegimos una extensión impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la función dada y sus coeficientes vienen determinados por (1.7). Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.

Uso en ingeniería

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes:

1. La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y la oída humana se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz.
2. Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.
3. La transformada de fourier también es utilizada en el àmbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Interpretación geométrica

Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:

$\langle f(x),g(x)\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)*g(x)dx\quad$

la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función x(t) y la exponencial compleja $e^{i2\pi \,ft}$ evaluado sobre todo el rango de frecuencias f. Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene x(t) con una exponencial compleja.

Véase también

• Óptica de Fourier

Enlaces externos

• Fourier Java Applet
• Tables of Integral Transforms en Inglés.
• Transformada de Fourier por John H. Mathews
• The DFT “à Pied”: Enseñando la transformada de Fourier en un dia en The DSP Dimension (Inglés).