Polígonos de Thiessen

Diagramas de Voronoi

Los Polígonos de Thiessen (también Polígonos de Voronoi o Teselación de Dirichlet) son una construcción geométrica que permite construir una partición del plano euclídeo. Deben su nombre al Alfred H. Thiessen y también fueron estudiados por Georgy Voronoi y Gustav Lejeune Dirichlet.

Los polígonos de Thiessen son uno de los métodos de interpolación más simples, basado en la distancia euclidiana, siendo especialmente apropiada cuando los datos son cualitativos. Se crean al unir los puntos entre sí, trazando las mediatrices de los segmento de unión. Las intersecciones de estas mediatrices determinan una serie de polígonos en un espacio bidimensional alrededor de un conjunto de puntos de control, de manera que el perímetro de los polígonos generados sea equidistante a los puntos vecinos y designando su área de influencia.

Generalización a $\mathbb {R} ^{n}$

Teselación de Voronoi de un conjunto de puntos aleatorio sobre el plano.

Para cada conjunto topológico discreto S de puntos en un espacio euclídeo y para casi todo punto x, existe un punto de S que es el más cercano a x. (aquí el término "casi" se usa para indicar que existen excepciones en las cuales x puede equidistar de dos o más puntos de S).

Si S contiene sólo dos puntos, a y b, entonces el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos es un hiperplano de codimensión 1. Ese hiperplano es la frontera entre los puntos más cercanos a a que a b, y los puntos más cercanos a b que a a. De hecho ese hiperplano es el plano bisector del segmento que une a y b. Más en general, el conjunto de puntos más cercanos a un punto c de S que a ningún otro punto de S (cuenca de atracción de c) es el interior de un politopo convexo (posiblemente no acotado) llamado dominio de Dirichlet o celda de Voronoi de c. El conjunto de todos esos politopos constituye una teselación completa del espacio euclídeo, llamada teselación de Voronoi asociada a S.

Si la dimensión del espacio euclídeo es sólo 2, como en el plano euclídeo, entonces resulta muy sencillo dibujar teleselaciones de Voronoi, como las de la figura adjunta.

Aplicaciones

Proceso llevado a cabo en un Sistema de Información Geográfica para la obtención de ejes de calles mediante el uso de polígonos de Thiessen.

Inicialmente los polígonos de Thiessen fueron creados para el análisis de datos meteorológicos (estaciones pluviométricas) aunque en la actualidad también se aplica en estudios en los que hay que determinar áreas de influencia (centros hospitalarios, estaciones de bomberos, bocas de metro, centros comerciales, control del tráfico aéreo, telefonía móvil, análisis de poblaciones de especies vegetales, etc.). Es una de las funciones de análisis básicas en los SIG.

Véase también

• Geometría algorítmica
• Geometría euclídea
• Triangulación de Delaunay