Problema de los tres cuerpos

Movimiento caótico de tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado.

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar en cualquier instante las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualquier masa, sometidos a su atracción mutua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales son 18 valores).

Introducción

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de las cuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos para el n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o (integrales de movimiento o integrales primeras). Como demostró el matemático francés Henri Poincaré no existe una fórmula que lo rija. Esto es, de las 18 integrales de movimiento sólo 10 pueden ser resueltos por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales no existen ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Estos resultados no implican sin embargo que no existe una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. De hecho Sundman proporcionó en 1909 una solución pero por medio de una serie convergente.

Este problema no surge como un problema teórico, pues el sistema Tierra-Luna-Sol es un caso muy próximo del problema. Charles Delaunay estudió entre 1860 y 1867 dicho sistema y publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas. Entre muchos otros logros, en su trabajo aparece ya el caos, y aplica la teoría de la perturbación, que consiste en resolverlo como un problema de dos cuerpos y considerar que el tercero perturba la posición de los otros dos.

Se trata de un caso de inestabilidad, denominado el problema teórico fundamental de la Estabilidad del Equilibrio, un fenómeno que en términos actuales puede denominarse movimiento caótico y que no pudo ser abordado sino hasta 1949 cuando el matemático José Luis Massera lo caracterizó en términos de las Funciones de Lyapunov.

En 1776 el matemático francés Pierre Simon de Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podría predecir su pasado y futuro. Por más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.

El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados, se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.

A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el Sistema Solar será estable para siempre. Él fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de comportamiento que dependiera sensiblemente en las condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre, reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondían a una dinámica lineal, aquellos a los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. Esta afirmación, además, está directamente relacionada con la teoría de variables ocultas. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.

El problema de los tres cuerpos restringido o de Euler

El problema de los tres cuerpos restringido asume que la masa de uno de los cuerpos es despreciable; el problema de los tres cuerpos restringido circular es un caso especial en que se asume que dos de los cuerpos están en órbitas circulares (lo cual es aproximadamente cierto para el sistema Sol - Tierra - Luna). Para una discusión del caso dónde el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de masa menor, ver la Esfera de Hill; para los sistemas binarios, ver el lóbulo de Roche; para soluciones estables del sistema, ver Puntos de Lagrange.

El problema restringido (circular y elíptico) fue estudiado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, como Lagrange en el siglo XVIII y Henri Poincaré al final del siglo XIX. En el problema circular, existen cinco puntos de equilibrio llamados Puntos de Lagrange. Tres de estos puntos son colineales con las masas principales y son inestables. Los otros dos se localizan en el tercer vértice formando con las dos masas principales triángulos equiláteros. Estos puntos son estables. En el sistema Sol-Jupiter los puntos de lagrangianos están en la misma órbita de Júpiter pero 60º por delante o por detrás y forman con el Sol y Júpiter dos triángulos equiláteros. El que estos puntos estén ocupados por los asteroides troyanos constituye una bella confirmación.

Véase también

• Problema de los dos cuerpos
• Problema de los n-cuerpos
• Puntos de Lagrange
• Caos determinista

Enlaces externos

• Animación flash basada en el problema de los n cuerpos
• The Global Solution of the N-body problem

Referencias

• Diacu, F.: The solution of the n-body Problem, The Mathematical Intelligencer,1996,18,p.66–70