Producto vectorial

Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores $\mathbf {a} \,$ y $\mathbf {b} \,$ en el espacio vectorial ℝ³. El producto vectorial entre $\mathbf {a} \,$ y $\mathbf {b} \,$ da como resultado un nuevo vector, $\mathbf {c} \,$. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

• El módulo de $\mathbf {c} \,$ está dado por

$c=a\,b\,\sin \theta$

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

• La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
• El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={a}\,{b}\,{\rm {sen}}{\theta }\ {\hat {\mathbf {n} }}}$

donde ${\hat {\mathbf {n} }}$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

Base del espacio vectorial

Sea un sistema de referencia $S=\{O;\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ en el espacio vectorial ℝ³. Se dice que $S$ es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. $\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} =\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} =0$; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. $|\mathbf {i} |=|\mathbf {j} |=|\mathbf {k} |=1$; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. $\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$, $\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$, $\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$; es decir, cumplen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

Producto vectorial

Sean $\mathbf {u} =u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k}$ y $\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$ dos vectores concurrentes de $\mathbb {R} ^{3}$, el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto $\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$, y se escribe $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$, como el vector:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\left(\det {\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {i} -\det {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {j} +\det {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {k} \right)$

En el que

$\det {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\\\end{pmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c$, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {i} -\det {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {j} +\det {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {k}$

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos o regla de la mano derecha: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Hay que añadir que esta notación compacta es inconsistente, pues en una matriz no se puede mezclar escalares ($u_{x}\,$, $v_{y}\,$) con vectores ($\mathbf {i} \,$, $\mathbf {j} \,$).

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores $\mathbf {a} =(2,0,1)$ y $\mathbf {b} =(1,-1,3)$ se calcula del siguiente modo:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&0&1\\1&-1&3\\\end{pmatrix}}$

Expandiendo el determinante:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} {\begin{pmatrix}0&1\\-1&3\\\end{pmatrix}}+(-1)\mathbf {j} {\begin{pmatrix}2&1\\1&3\\\end{pmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k}$

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$:

1. $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$, (anticonmutatividad)
2. Si $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$ y $\mathbf {b} \neq \mathbf {0}$, entonces $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =0$ implica que $\mathbf {a} \|\mathbf {b}$; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$.
4. $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$, conocida como regla de la expulsión.
5. $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=0$, conocida como identidad de Jacobi.
6. $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=a\,b\,{\rm {sen}}\theta$, siendo $\theta$ el ángulo menor entre los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario ${\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}$ es normal al plano que contiene a los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$.

Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=*(\phi _{\vec {a}}\wedge \phi _{\vec {b}})$

Donde $\phi _{\vec {a}},\phi _{\vec {b}}$ denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones matemáticas externas:

• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa, ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, $\mathbb {R} ^{3}$, el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ℝ³.

Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a $n$ dimensiones, con $n\neq {0,1}$ y sólo tendrá sentido si se usan $n-1$ vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

$V^{a}=\epsilon ^{aa_{1}\dots a_{n-1}}V_{1}^{a_{1}}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}$

Referencias

Véase también

• Producto escalar
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.