Diferencia entre revisiones de «Teorema del binomio»
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[[Isaac Newton]] generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita: |
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{{ecuación|<math>{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}</math>|3|left}} |
{{ecuación|<math>{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}</math>|3|left}} |
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Donde ''r'' puede ser cualquier [[número complejo]] (en particular, ''r'' puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por: |
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:<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}</math> |
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(el ''k'' = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de ''k'' = 1 es igual a ''r'', ya que los otros factores (''r'' − 1), etc., no aparecen en ese caso). |
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Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca: |
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:<math>\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.</math> |
:<math>\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.</math> |
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Revisión del 02:25 11 nov 2009
En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:
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donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que elCalcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de forma sencilla:
Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.