Poliedro

Poliedros

Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.

Familias de poliedros

Poliedros regulares

Se dice que es un poliedro regular, aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un cubo o menos conocido cómo hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, éstos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, cómo Sólidos platónicos.

Poliedros irregulares

Cualquier poliedro que no cumpla los requisitos para ser poliedro regular.

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros

Sólidos de Johnson

Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes; sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Son en total 92 y entre ellos se enumeran:

• Pirámide triangular elongada.
• Rotunda pentagonal elongada.
• Girobifastigium.
• Girobicupola cuadrángular giroelongada, que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
• etc.

Bipirámides y trapezoedros

Bipirámide (octaedro).

Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.

Sólidos de Catalán

Hexaquisoctaedro

Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los Sólidos de Catalán se encuentran: El Triaquistetraedro, el rombododecaedro, el Triaquisoctaedro, el Tetraquishexaedro, el Icositetraedro deltoidal, el Hexaquisoctaedro, el Icositetraedro pentagonal, el Triacontaedro rómbico, el Triaquisicosaedro, el Pentaquisdodecaedro, el Hexecontaedro deltoidal, el Hexaquisicosaedro y el Hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Deltaedros

Se llama deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.

CONSTRUCCIÓN DE DELTAEDROS La manera habitual de construir un poliedro consiste en partir de su desarrollo plano. Por ejemplo, si dibujamos cuatro triángulos equiláteros consecutivos, los recortamos y los doblamos, podemos obtener un Tetraedro, que es el Deltaedro (y el poliedro regular) más sencillo.

Hay sitios en internet donde podemos encontrar los desarrollos listos para montar. Algunos llevan incluso la proyección impresa de la esfera terrestre sobre el poliedro ya construido.

http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjPoly/Foldout/foldout.html

Claro, este es un buen método cuando sólo nos interesa ver el resultado de lo que otros han pensado, pero si queremos resolver el problema por nosotros mismos, para saber cúantos triángulos hemos de poner y cómo, nos iría mejor tener los triángulos sueltos y poder engancharlos de forma sencilla.

Hay algunas casas que comercializan polígonos regulares en cartulina, plástico transparente o plástico duro, que se pueden unir por diversos métodos, pero aquí vamos a utilizar un método que sólo emplea hojas de papel (de colores) tamaño A-4 muy fáciles de conseguir.

La idea es construir, doblando la hoja adecuadamente, un módulo triangular equilátero que se pueda unir con copias de él mismo y dé lugar a los distintos deltaedros.

Resulta fascinante comprobar lo que se puede conseguir con un instrumento tan sencillo, aparentemente.

En realidad, existen muchos módulos diferentes (y cada día aparece alguno nuevo) que nos permiten obtener los resultados que pretendemos.

El nombre genérico que reciben estas técnicas es Origami modular

Deltaedros de papel. José Luis Ramón Pérez IES “Bajo Cinca” Fraga (Huesca) http://www.educa.aragob.es/iesbcfra/Dmates/752tetra.htm

Bibliografía

• QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Véase también

• Sólidos platónicos
• Teorema de poliedros de Euler.
• Politopo

Teorema de pitegora

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Poliedro.
• Poliedros reguleres e irregulares (en gallego)
• Poliedros: Modelos de Papel
• Jardín del poliedro
• Poliedros Regulares y Prismas en 3D