Diferencia entre revisiones de «Ángulo inscrito»

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Revisión del 19:25 11 nov 2009

En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos secantes (o una secante y una tangente en el caso degenerado, llamado semi-inscrito), que se intersectan en la circunferencia. Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.

Propiedad

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud $\theta$ igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, $\theta /2$ .

Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas $a$ , $b$ se intersectan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo $a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}$ .

Demostración

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Ángulo inscrito $\alpha$ y arco $\theta$

Sean $o$ el centro de un círculo, $u$ y $v$ dos puntos en la circunferencia, y $w$ el otro extremo de la cuerda que pasa por $u$ y $o$ . Sea $\theta$ la amplitud del arco comprendido entre las secantes ${\bar {uv}}$ y ${\bar {uw}}$ , y $\alpha$ su ángulo inscrito.

El ángulo central $\angle wov$ , también tiene amplitud $\theta$ y es suplementario de $\angle vou=\beta$ . Por lo tanto $\theta +\beta =180$ °.

Como el triángulo $\triangle uvo$ tiene dos lados con longitud igual al radio ( ${\bar {uo}}$ y ${\bar {vo}}$ ), es isósceles, por lo que $\angle uvo=\alpha$ . Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que $2\alpha +\beta =180$ , pero $\beta =180-\theta$ , así que $2\alpha +180-\theta =180$ , o lo que es equivalente, $2\alpha =\theta$ .

Por lo tanto, el ángulo inscrito $\alpha$ tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior $\theta$ , $\alpha ={\frac {\theta }{2}}$ .

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-<nowiki><nowiki></nowiki>En [[geometría]], un '''ángulo inscrito''' es el [[ángulo]] comprendido entre dos [[secante]]s (o una secante y una [[tangente]] en el caso degenerado, llamado ''semi-inscrito''), que se intersectan en la [[circunferencia]]. Es decir, es el ángulo definido por dos [[circunferencia#Elementos de la circunferencia|cuerdas]] que comparten un extremo.
+En [[geometría]], un '''ángulo inscrito''' es el [[ángulo]] comprendido entre dos [[secante]]s (o una secante y una [[tangente]] en el caso degenerado, llamado ''semi-inscrito''), que se intersectan en la [[circunferencia]]. Es decir, es el ángulo definido por dos [[circunferencia#Elementos de la circunferencia|cuerdas]] que comparten un extremo.
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+==Propiedad==
+Mientras que un [[ángulo#Ángulos respecto de una circunferencia|ángulo central]] tiene una amplitud <math>\theta</math> igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, <math>\theta/2</math> .
+Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un [[cuadrilátero cíclico]] son [[Ángulos_suplementarios|suplementarios]], y que cuando dos cuerdas <math>a</math>, <math>b</math> se intersectan en el interior del [[círculo]], el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo <math>a_1 \cdot a_2 = b_1 \cdot b_2</math>.
-Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un [[cuadrilátero cíclico]] son [[Ángulos_suplementarios|suplementarios]], y que cuando dos cuerdas <math>a</math>, <materterterh>b</math> se intersectan en el interior del [[círculo]], el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo <math>a_1 \cdot a_2 = b_1 \cdot b_2</math>.
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 ==Demostración==
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 [[Image:anguloInscrito1.png| thumb | right | 250px | Ángulo inscrito <math>\alpha</math> y arco <math>\theta</math>]]
-eruw}</math>, y <math>\alpha</math> su ángulo inscrito.
+Sean <math>o</math> el centro de un círculo, <math>u</math> y <math>v</math> dos puntos en la circunferencia, y <math>w</math> el otro extremo de la cuerda que pasa por <math>u</math> y <math>o</math>. Sea <math>\theta</math> la amplitud del arco comprendido entre las secantes <math>\bar{uv}</math> y <math>\bar{uw}</math>, y <math>\alpha</math> su ángulo inscrito.
 El ángulo central <math>\angle wov</math>, también tiene amplitud <math>\theta</math> y es [[Ángulos_suplementarios|suplementario]] de  <math>\angle vou = \beta</math>. Por lo tanto <math>\theta + \beta = 180</math>&#xb0;.
-Como el triángulo <math>\triangle uvo</math> tiene dos lados con longitud igual al radio (<math>\bar{uo}</math> y <math>\bar{vo}</math>), es [[Triángulo#Clasificación de los triángulos|isósceles]], por lo que <math>\angle uvo = \alpha</math>. Dado que la suma dghjdghe los ángulos internos de un triángulo es 180&#xb0;, tenemos que <math>2\alpha + \beta = 180</math>, pero <math>\beta = 180 - \theta</math>, así que <math>2\alpha + 180 - \theta = 180</math>, o lo que es equivalente, <math>2\alpha = \theta</math>.
+Como el triángulo <math>\triangle uvo</math> tiene dos lados con longitud igual al radio (<math>\bar{uo}</math> y <math>\bar{vo}</math>), es [[Triángulo#Clasificación de los triángulos|isósceles]], por lo que <math>\angle uvo = \alpha</math>. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180&#xb0;, tenemos que <math>2\alpha + \beta = 180</math>, pero <math>\beta = 180 - \theta</math>, así que <math>2\alpha + 180 - \theta = 180</math>, o lo que es equivalente, <math>2\alpha = \theta</math>.
 Por lo tanto, el ángulo inscrito <math>\alpha</math> tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior <math>\theta</math>, <math>\alpha = \frac{\theta}{2}</math>.