Número decimal periódico

El número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación decimal. Este período puede ser un único número, como en 1/3 = 0.3333... ; o una serie de números, como en 1/7=0.142857142857... . El período se puede expresar escribiendo un arco encima de la cifras o conjunto de cifras en repetición, por ejemplo $2/3=0,{\widehat {6}}$, con varias cifras $12/11=1,{\widehat {09}}$ y con un período no inmediato después de la coma $12/1100=0,01{\widehat {09}}$

Fracción de un número periódico

Para hacer una fracción igual a un número periódico (fracción generatriz), primero hay que diferenciar entre dos tipos:

• Número períodico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras periódicas. Para obtener una fracción de estos números, seguimos estos pasos:
  • Imaginamos que el número decimal, con su cifra periódica no lo es, así, multiplicamos por 1 seguido de tantos ceros como números decimales hayan quedado (En $65'{\widehat {7876}}$, quedaría así: $657876'{\widehat {7876}}$. Hemos multiplicado este número por 10.000, después volvemos a poner el período)
  • Hacemos una especie de resta:

10.000 x - x = 9.999 x

$657.876'{\widehat {7876}}-65'{\widehat {7876}}=657.811$

Colocamos la cifra sin x en el numerador y la cifra con x en el denominador, por lo que nos quedaría como fracción generatriz:

${\frac {657.811}{9.999}}={\frac {59.801}{909}}$.

• Número períodico mixto: Cuando no inmediatamente después de la coma hay una o más cifras periódicas. Para obtener una fracción de estos números, seguimos estos pasos:
  • Primero multiplicamos por 1 seguido de tantos ceros como números decimales haya antes del primer número periódico.
  • Después hacemos lo mismo que con el número periódico mixto, multiplicamos y ya tenemos el número con el que vamos a trabajar. Sería así:

$6'6{\widehat {78}}$, primero multiplicamos por 10 ($66'{\widehat {78}}$), a continuación multiplicamos el período por 100 ($6678'{\widehat {78}}$). Y repetimos el mismo proceso que con el ejemplo anterior, pero con una modificación; para hallar el minuendo de la "resta", multiplicamos las 2 cifras seguidas de cero (en este caso, 100 y 10) y después al resultado, le restamos el más pequeño (10). Por lo que quedaría así:

1.000 x - 10 x = 990 x

$6678'{\widehat {78}}-66'{\widehat {78}}=6612$

Al igual que antes, colocamos la cifra sin x en el numerador y la cifra con x en el denominador. Por tanto, nos quedaría como fracción generatriz:

${\frac {6.612}{990}}={\frac {1.102}{165}}$

• • Otra forma de hacer este procedimiento de manera más sencilla es escribiendo todos los dígitos sin la coma decimal, (En $65'{\widehat {7876}}$, =657876, a este número le restamos la parte del número no periódica= 657876-65 (todo esto sería el numerador, para el denominador ponemos un nueve si es periódico puro o un 90 si es periódico mixto.
  • Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si es períodica pura, mixta o exacta, sin hacer la división:

 * Si al descomponer el denominador en factores éstos son solo el 2 y/o el 5, será exacta: 
   Por ejemplo 7/20, como 20=2*2*5, será exacta; en efecto es 7/20=0,35
   Por ejemplo 7/25, como 25=5*5, será exacta; en efecto es 7/25=0,28
 * Si al descomponer el denominador en factores éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periodica pura: 
   Por ejemplo 5/21, como 21=3*7, será periodica pura; en efecto es 5/21=0,238095 2380952 380952 ....
 * Si al descomponer el denominador en factores éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periodica mixta: 
   Por ejemplo 5/42, como 42=2*3*7, será periodica mixta; en efecto  es 5/42=0,1 190476 190476 190476 ....

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