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El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown quien lo describe en 1827. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol.

El movimiento aleatorio de estas partículas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las moléculas del fluido sometidas a una agitación térmica. Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo provocando el movimiento observado.

Tanto la difusión como la ósmosis son fenómenos basados en el movimiento browniano.

La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein y constituye el primero de sus artículos del "Annus Mirabilis" (año maravilloso en latín) de 1905. La teoría de Einstein demostraba la teoría atómica, todavía en disputa a principios del siglo XX, e iniciaba el campo de la física estadística.

Historia

El poema científico Sobre la Naturaleza de las cosas del romano Lucrecio (60 a.C.) incluye la notable descripción de un movimiento browniano de partículas de polvo. El autor presentó este hecho como prueba de la existencia de los átomos:

Observa lo que acontece cuando rayos de sol son admitidos dentro de un edificio y cómo arroja la luz sobre los lugares oscuros. Puedes ver la multitud de pequeñas partículas moviéndose en un sin número de caminos... su baile es una indicación de movimientos subyacentes de materia que son escondidos por nuestra vista... eso origina el movimiento de los átomos en sí mismos (p.e. espontáneamente). Entonces los pequeños organismos que son eliminados del impulso de los átomos son puestos en marcha por golpes invisibles y a su vez en contra de unos diminutos cañones. Así el movimiento de los átomos emerge gradualmente de un nivel del sentido, que estos cuerpos están en movimiento como vemos en el rayo de sol, movidos por soplos que parecen invisibles.

Sobre la naturaleza de las cosas, Lucrecio

Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de partículas de carbón pulverizadas en la superficie del alcohol en 1785. No obstante, el descubrimiento del movimiento browniano se atribuye tradicionalmente al botánico Robert Brown en 1827. Se cree que Brown estuvo estudiando al microscopio partículas de polen flotando en el agua. Dentro de las vacuolas de los granos de polen observó diminutas partículas con movimientos nerviosos. Al repetir el experimento con partículas de polvo concluyó que el movimiento no se debía a que las partículas de polen estaban 'vivas', aunque no explicó el origen del movimiento.

El primero en describir matemáticamente el movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en 1880, en un documento sobre el método de los mínimos cuadrados. Fue seguido independientemente por Louis Bachelier en 1900 en su tesis doctoral La teoría de la especulación, en la que se presenta un análisis estocástico de acción y opción de mercados. Sin embargo, fue el estudio independiente de Albert Einstein en su artículo de 1905 (Über die con der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen/ Sobre el movimiento requerido por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario) el que mostró la solución a los físicos, como una forma indirecta de confirmar la existencia de átomos y moléculas.

En esa época la naturaleza atómica de la materia aún era una idea controvertida. Einstein y Marian Smoluchowski dedujeron que si la teoría cinética de los fluidos era correcta entonces las moléculas de agua tendrían movimientos aleatorios. Por lo tanto las partículas pequeñas podrían recibir un número aleatorio de impactos, de fuerza aleatoria y de direcciones aleatorias, en cortos períodos de tiempo. Este bombardeo aleatorio por las moléculas del fluido podría ser suficiente para que las partículas pequeñas se moviesen de la manera exacta que Brown había descrito. Theodor Svedberg hizo importantes demostraciones del movimiento browniano en coloides, así como Felix Ehrenhaft lo hizo con partículas de plata en la Atmósfera terrestre. Jean Perrin también realizó experimentos para verificar los modelos matemáticos y al publicar sus resultados finales se puso fin a dos mil años de disputa sobre la realidad de las moléculas y los átomos.

Metáfora intuitiva del movimiento browniano

Considere un gran balón de 10 metros de diámetro. Imagine este balón en un estadio de fútbol o cualquier otra área llena de gente. El balón es tan grande que permanece por encima de la muchedumbre. Las personas aciertan a golpear el balón en diferentes momentos y direcciones de manera completamente aleatoria. Por ello, el balón no sigue una trayectoria. Ahora, considere una fuerza ejercida durante un cierto tiempo; podemos imaginar 20 personas empujando para la derecha y 21 para la izquierda y que cada persona está ejerciendo cantidades de fuerza equivalentes. En este caso las fuerzas ejercidas por el lado izquierdo y por el lado derecho no están equilibradas, favoreciendo al lado izquierdo, por lo que el balón se moverá ligeramente hacia la izquierda. Esta desproporción siempre existe, y es lo que causa el movimiento aleatorio. Si observáramos la situación desde arriba, de modo que no pudiéramos ver a las personas, veríamos el gran balón como un objeto animado por movimientos erráticos.

Ahora volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente en el agua. Una molécula de agua mide aproximadamente 1 nm, mientras una partícula de polen tiene aproximadamente 1 µm de diámetro, 1000 veces mayor que una de agua. Así pues, la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón empujado constantemente por las moléculas de agua. El movimiento Browniano de las partículas en un líquido se debe a las desproporcionalidades instantáneas en las fuerzas ejercidas por la pequeñas moléculas líquidas sobre la partícula.

Modelación del movimiento browniano

La definición matemática de esta definición corresponde a la ecuación que gobierna la evolución temporal de la función probabilística de densidad asociada con la ecuación de difusión de una particula browniana, en definitiva es una ecuación diferencial parcial.

La evolución temporal de la posición de una particula browniana en si misma puede ser descrita aproximadamente por una ecuación de Langevin, una ecuación que envuelve un campo de fuerzas aleatorias representando el efecto de fluctuaciones termales de una solución de particulas brownianas. En largas escalas de tiempo, el movimiento browniano matematico es descrito perfectamente con la ecuación de Langevin. A tiempos cortos, los efectos de la inercia prevalecen en esta ecuación. Sin embargo se considera a esta ecuación, de otra manera la ecuación se vuelve singular, así que se debe remover al termino de la inercia de esta ecuación para tener una descripción exacta, pero el comportamiento singular de estas particulas no se describe del todo.

Otras maneras de conseguir su modelo matemático considerando a un movimiento browniano $B=(B_{t})_{t\in [0,\infty ]}$ un proceso de Gauss central con una función covariante $\mathrm {Cov} (B_{t},B_{s})=\mathop {\rm {min}} (t,s)$ para toda $t,s\geq 0$ . El resultado de un proceso estocástico es atribuido a Norbert Wiener, que se demostro en la teoría de probabilidad existente desde 1923, y se la conoce por el nombre de proceso de Wiener. Muchos detalles importantes se las encuentra en sus publicaciones.

Hay muchas posibilidades de construir un movimiento browniano:

La construcción abstracta por medio de esquemas de Kolmogórov, donde el problema viene con el aumento (o camino creciente).
La costrucción de Lèvy-Ciesielski: se induce este movimiento con ayuda de un sistema de Haar de $C([0,1])$ a una base de Schauder y se lo construye como un proceso estocástico con curva creciente.
Sea $Z_{0}$ , $Z_{1}$ , … independiente, distribuida idénticamente y con distribución normal $\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .

Luego es $S(t)=Z_{0}t+\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}$ un movimiento browniano.

Este movimiento juega un rol importante también en la simulación de la cotización de las acciones.

La caracterización de Lévy del movimiento browniano

El matemático francés Paul Lévy propuso el siguiente teorema, donde la condición necesaria y suficiente para un Rⁿ continuo, evaluado en un proceso estocastico X para ser realmente n, dimensiona un movimiento browniano. Por lo tanto la condición de Lévy puede ser realmente usada como una definición alternativa de movimiento browniano.

Entonces, X = (X₁, ..., X_n) sea un proceso estocastico continuo en un espacio probabilístico (Ω, Σ, P) tomando valores en Rⁿ. Tenemos la siguiente equivalencia:

X es un movimiento browniano con respecto a P, p.e. X con respecto a P es la misma que la n dimensional del movimiento browniano, p.e. la medida de empuje X_∗(P) es una medida clasica de Wiener de C₀([0, +∞); Rⁿ).
both
1. X es una martingala con respecto a P y
2. para todo 1 ≤ i, j ≤ n, X_i(t)X_j(t) −δ_ijt es una martingala con respecto a P, donde δ_ij denota una delta de Kronecker.

Movimiento Browniano en una multiplicidad de Riemann

El generador infinitesimal (y por lo tanto el generador característico) de un movimiento browniano en Rⁿ es fácilmente calculado en ½Δ, donde Δ denota un operador laplaciano. Esta observación es útil al definir un movimiento browniano en una multiplicidad Riemanniana m-dimensional (M, g): un movimiento browniano M es definido por ser una difusión en M cuyo operador característico ${\mathcal {A}}$ en coordenadas locales x_i, 1 ≤ i ≤ m, esta dado por ½Δ_LB, donde Δ_LB es el operador de Laplace-Beltrami dado en las coordenadas por

\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),

donde [g^ij] = [g_ij]⁻¹ en el sentido de una matriz cuadrada inversa.

Véase también

Referencias

Brown, R., "A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies." Phil. Mag. 4, 161-173, 1828. (versión PDF del artículo original de Brown, incluyendo la defensa subsecuente sobre sus originales observaciones, Additional remarks on active molecules.)
Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1]
Einstein, A. "Investigations on the Theory of Brownian Movement". New York: Dover, 1956. ISBN 0-486-60304-0 [2]
Theile, T. N. Versión danesa: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en ‘systematisk’ Karakter". Versión francesa: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.
Nelson, E., Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (versón PDF del libro descatalogado, descargable desde la página personal del mismo autor)
Ruben D. Cohen (1986) “Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena,” Journal of Chemical Education 63, pp. 933-934 [http://rdcohen.50megs.com/BrownianMotion.pdf download
J. Perrin, Ann. Chem. Phys. 18, 1 (1909). Véase también el libro "Les Atomes" (1914).

Enlaces externos

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 El primero en describir matemáticamente el movimiento browniano fue [[Thorvald N. Thiele]] en 1880, en un documento sobre el método de los mínimos cuadrados. Fue seguido independientemente por [[Louis Bachelier]] en 1900 en su tesis doctoral ''La teoría de la especulación'', en la que se presenta un análisis estocástico de acción y opción de mercados. Sin embargo, fue el estudio independiente de [[Albert Einstein]] en su artículo de 1905 (''Über die con der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen''/ ''Sobre el movimiento requerido por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario'') el que mostró la solución a los físicos, como una forma indirecta de confirmar la existencia de átomos y moléculas.
+En esa época la naturaleza atómica de la materia aún era una idea controvertida. Einstein y [[Marian Smoluchowski]] dedujeron que si la [[teoría cinética]] de los fluidos era correcta entonces las moléculas de agua tendrían movimientos aleatorios. Por lo tanto las partículas pequeñas podrían recibir un número aleatorio de impactos, de fuerza aleatoria y de direcciones aleatorias, en cortos períodos de tiempo. Este bombardeo aleatorio por las moléculas del fluido podría ser suficiente para que las partículas pequeñas se moviesen de la manera exacta que Brown había descrito. [[Theodor Svedberg]] hizo importantes demostraciones del movimiento browniano en [[coloide]]s, así como [[Felix Ehrenhaft]] lo hizo con partículas de [[plata]] en la [[Atmósfera terrestre]]. [[Jean Perrin]] también realizó experimentos para verificar los modelos matemáticos y al publicar sus resultados finales se puso fin a dos mil años de disputa sobre la realidad de las [[molécula]]s y los [[átomo]]s.
-el movimiento browniano es q un coloie de mueve y el movimento no hace eso suceda
 == Metáfora intuitiva del movimiento browniano ==