Teoría de Galois

En matemáticas, la teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos, que gracias a dicha teoría, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois (1811-1832), muerto a la edad de 20 años.

Aplicaciones de la teoría de Galois

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?

El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al cuarto, y por qué las soluciones son expresables mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.

Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:

¿Qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás?

¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?

El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones

Si tenemos un polinomio puede suceder que algunas de sus raíces estén digamos que "conectadas" mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas raíces. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A² + 5B³ = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificar ciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos de abajo serán los números racionales los que usemos.)

El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado Grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Un ejemplo:

Primer ejemplo: ecuación cuadrática

Sea la ecuación cuadrática

x² − 4x + 1 = 0.

Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son

A = 2 + √3,   y

B = 2 − √3.

Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son

A + B = 4,   y

AB = 1.

En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluimos que el grupo de Galois del polinomio x² − 4x + 1 consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B quietas, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:

A − B − 2√3 = 0,

pero que no es cierta cuando intercambiamos los papeles. Sin embargo hemos de observar que no nos importa pues sus coeficientes no son racionales; √3 es irracional.

De forma parecida podemos hablar de cualquier polinomio cuadrático ax² + bx + c, donde a, b y c son números racionales.

• Si el polinomio tiene sólo una raíz, por ejemplo x² − 4x + 4 = (x−2)², entonces el grupo de Galois es trivial; esto es, contiene sólo a la permutación identidad.
• Si tiene dos distintas raíces racionales, por ejemplo x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), el grupo es de nuevo trivial.
• Si tiene dos raíces irracionales (inclusive el caso en el que ambas son números complejos), entonces el grupo de Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo anterior.

Segundo ejemplo: algo más ingenioso

Considérese el siguiente polinomio:

x⁴ − 10x² + 1,

que puede escribirse también como:

(x² − 5)² − 24.

Deseamos describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el cueropo de los números racionales. El polinimio tiene cuatro raíces:

$A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

$C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.$

Existen 4! = 24 maneras de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois debe preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales A, B, C and D. Una de dichas ecuaciones es por ejemplo:

A + D = 0.

Ya que puesto que

$A+C=2{\sqrt {3}}\neq 0$,

la permutación

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

no está permitda, porque transforma la ecuación válida A + D = 0 en la ecuación inválida A + C = 0).

Otra ecuación que la las raíces satisfcen es:

(A + B)² = 8.

Esto excluiría más permutaciones, como por ejemplo:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuando de esta manera, podemos encontrar que sólo las permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

y por tanto el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Klein.

Referencia

• Baker, A. (2004): An Introduction to Galois Theory, University of Glasgow.