Matriz diagonalizable

En álgebra lineal una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma $A=PDP^{-1}$ donde P es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A y D es una matriz diagonal formada por los valores propios de A.

Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como $A=PDP^{t}$. El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de $P^{-1}$ son los vectores columnas de P.

Definición

Sea $\mathbf {A} \in M_{n\cdot n}(\mathbb {K} )$ una matriz cuadrada con valores en un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que la matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma:

$\mathbf {A} =\mathbf {PDP} ^{-1}$

Donde:

• $\mathbf {D}$ es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de $Sp(\mathbf {A} )$, apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo $\sigma (\mathbf {A} )$ el espectro de $\mathbf {A}$, es decir, el conjunto de autovalores de la matriz $\mathbf {A}$:

$\sigma (\mathbf {A} )={\big \{}\lambda _{i}\in \mathbb {K} |\mathbf {Av} =\lambda _{i}\mathbf {v} \quad \forall i=1,2,...,n{\big \}}$

• $\mathbf {P}$ es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada $\lambda _{i}\,$ siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz $(A-\lambda _{i}\cdot I)$:

$\mathbf {P} =(v_{1}|v_{2}|...|v_{n})/v_{j}\in {\mbox{ker}}(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\forall i,j=1,...,n$

Aplicaciones

Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:

$\mathbf {A} ^{p}=\mathbf {P} \mathbf {D} ^{p}\mathbf {P} ^{-1}$

facilitando mucho el cálculo de las potencias de $\mathbf {A}$, dado que siendo $D$ una matriz diagonal, el cálculo de su p-ésima potencia es muy sencillo:

$\mathbf {D} ^{p}={\begin{pmatrix}{d_{1}}^{p}&0&...&0\\0&{d_{2}}^{p}&...&0\\|&|&...&|\\0&0&...&{d_{n}}^{p}\end{pmatrix}}$

Ejemplos

Diagonalización de una matriz

Diagnalizar una matriz se reduce a encontrar sus vectores y valores propios.

Tomemos la matriz:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}$

y veamos que es diagonalizable:

• Esta matriz tiene los valores propios: $\lambda _{1}=-1,\quad \lambda _{2}=4$
• Así $\mathbf {A}$ es una matriz 2 por 2 con 2 valores propios diferentes, entonces se dice que es diagonizable.Si queremos diagonalizar $\mathbf {A}$ necesitamos calcular los correspondientes vectores propios. Ellos son:

$\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$

Uno podría verificar fácilmente esto mediande:

$\mathbf {Av} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}$

• Ahora, $\mathbf {P}$ es la matriz invertible con los vectores propios de $\mathbf {A}$ como columnas:

$\mathbf {P} ={\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}}$ con inversa $\mathbf {P} ^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}$

• Hallemos ahora la matriz diagonal, usando esta matriz $P$ como sigue:

$\mathbf {A} =\mathbf {PDP} ^{-1}\Leftrightarrow \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {AP} =\mathbf {D}$

• Realizamos el cálculo introduciendo los datos:

$\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-3}{5}}&{\frac {2}{5}}\\{\frac {4}{5}}&{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&4\end{pmatrix}}$

• Luego resulta que existen matrices $\mathbf {P}$ y $\mathbf {D}$ tales que

$\mathbf {A} =\mathbf {PDP} ^{-1}$ cumpliendo $\mathbf {P}$ y $\mathbf {D}$ los requisitos pedidos al principio, y por tanto la matriz $\mathbf {A}$ es diagonalizable.

Potencias de una matriz diagonalizable

Podemos calcular, por ejemplo, la séptima potencia de la matriz anterior:

$\mathbf {A} ^{7}=\mathbf {P} \mathbf {D} ^{7}\mathbf {P} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1^{7}&0\\0&4^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&{\frac {-2}{5}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-3+2\cdot 4^{7}}{5}}&{\frac {2+2\cdot 4^{7}}{5}}\\{\frac {3+3\cdot 4^{7}}{5}}&{\frac {-2+3\cdot 4^{7}}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6553&6554\\9831&9830\end{pmatrix}}$

Matrices no diagonalizables

No todas las matrices cuadradas son diagonalizables, pero existen procedimientos similares para hallar matrices $\mathbf {P}$ invertibles y matrices $\mathbf {J}$ diagonales a bloques de tal modo que

$\mathbf {A} =\mathbf {PJP} ^{-1}$

ofreciendo también soluciones o atajos para resolver los problemas que requieren de la diagonalización de una matriz (ver Forma canónica de Jordan).

Teoremas sobre matrices diagonalizables

• Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.
• Dados dos matrices A y B, si AB = BA y una de ellas es diagonalizable, entonces la otra es diagonalizable. Además la base en que las dos matrices toman la forma diagonal es la misma.