Conforme

En cartografía, una función de proyección conforme es una función de proyección que preserva los ángulos en todos salvo un número finito de puntos. Los ejemplos incluyen la proyección de Mercator y la proyección estereográfica.

Geometría diferencial

En geometría de Riemann, dos métricas de Riemann g y h en la variedad diferenciable M se dicen equivalentes conformes si g=uh para una cierta función positiva u en M. Un difeomorfismo entre dos variedades de Riemann se dice conforme si la métrica pull-back es equivalente conforme al original. Las funciones conformes preservan ángulos y las formas de las figuras (infinitesimalmente) pequeñas. Por ejemplo, la proyección estereográfica de la esfera sobre el plano aumentado con un punto en el infinito es un función conforme.

Se puede también definir una estructura conforme en una variedad diferenciable como clase equivalente conforme de las métricas de Riemann.

Cualquier función conforme del espacio euclidiano a sí mismo es la composición de homotecias e isometrías.

Análisis complejo

Una familia importante de ejemplos viene del análisis complejo, una función f: U → C (donde U es un conjunto abierto del plano complejo C) es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.

Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y sólo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.