Diferencia entre revisiones de «Coloración de grafos»
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Revisión del 23:53 20 ene 2010
El coloreo, coloración o coloreado de grafos es uno de los problemas más interesantes de la teoría de grafos. El objetivo de este problema consiste en asignar distintos colores (o números enteros) a los vértices de un grafo, de manera que ningún par de vértices adyacentes compartan el mismo color (o número). El problema puede plantearse también para aristas o para caras de la inmersión plana de un grafo, siendo el desarrollo muy similar al coloreo de vértices.
Número cromático
Un grafo se denomina k-coloreado si puede colorearse con k colores distintos. Es decir, si existe una asignación de k colores diferentes que permitan un coloreo válido de un grafo G. Se llama coloreo válido al que cumple la propiedad de no asignar el mismo color a un par de vértices adyacentes.
El número cromático de un grafo es el menor número natural k entre todos los valores posibles que permiten k-colorear un grafo. Se denomina a este valor .
Teoremas
Existe un teorema fundamental de esta teoría, denominado teorema de los cuatro colores que afirma que todo grafo plano puede colorearse con, a lo sumo, cuatro colores distintos.
Propiedades
Entre las propiedades del número cromático, se pueden mencionar las siguientes:
- Para un grafo completo , . Esto se puede ver intuitivamente, ya que un grafo completo tiene todos sus nodos conectados entre sí, es decir,
- Por lo tanto, como un coloreo válido obliga a que dos nodos adyacentes tengan colores distintos, se necesitan n colores distintos para formar un coloreo válido de G, y este es el menor número posible. Luego,
- Si G es un ciclo de longitud par, entonces
- Si G es un ciclo de longitud impar, entonces
- Para todo grafo G, , donde corresponde al valor de la cliqué de mayor orden de un grafo.
- Para todo grafo G, ó , donde es el máximo entre los grados de todos los nodos (es decir, el grado máximo).