Momento resistente

El momento resistente es una magnitud geométrica que caracteriza resistencia de un prisma mecánico sometido a flexión. De hecho, el momento resistente es calculable a partir de la forma y dimensiones de dicha sección transversal, y representa la relación entre las tensiones máximas sobre dicha sección transversal y el esfuerzo de flexión aplicado sobre dicha sección.

Momento resistente flexional

Para una sección sometida a flexión simple la tensión (σ) viene dada por:

$\sigma =+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y$

Donde:

$(y,z)\;$, son las coordenadas de un punto de la sección transversal donde se quieren estudidar las tensiones.

$M_{y},M_{z}\;$, son las componentes del momento flector sobre los dos ejes principales de inercia de la sección transversal.

El valor máximo sobre dicha sección se alcanza para el punto más alejado de la fibra neutra siendo esta tensión máxima:

$\sigma _{max}=+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z_{max}-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y_{max}={\frac {M_{y}}{W_{y}}}+{\frac {M_{z}}{W_{z}}}$

De donde se deduce que los momentos resistentes flexionales vienen dados por:

$W_{y}=\max _{z}\left|{\frac {I_{y}}{z}}\right|\qquad W_{z}=\max _{y}\left|{\frac {I_{z}}{y}}\right|$

Ejemplos

• Sección rectangular (base b × altura h):

$W_{y}={\frac {bh^{2}}{6}}\qquad W_{z}={\frac {b^{2}h}{6}}$

• Sección circular maciza de radio R:

$W_{y}=W_{z}={\frac {\pi R^{3}}{4}}$

• Sección elíptica maciza con semiejes a y b (a > b)

$W_{y}={\frac {\pi ab^{2}}{4}}\qquad W_{z}={\frac {\pi a^{2}b}{4}}$

Momento resistente torsional

Sección circular maciza o hueca

Para una sección mazica o tubular circular sometida a torsión simple la tensión tangencial (τ) viene dada por:

$\tau =+{\frac {M_{x}}{J}}d$

Donde:

$d\;$, son las coordenadas de un punto de la sección transversal donde se quieren estudidar las tensiones.

$M_{x}\;$, es el momento torsor.

El valor máximo sobre dicha sección se alcanza para el punto más alejado del centro de torsión siendo esta tensión máxima:

$\sigma _{max}=+{\frac {M_{x}}{J}}d_{max}={\frac {M_{x}}{W_{T}}}$

De donde se deduce que para una sección circular maciza o hueca el momento resistente torsional viene dado por:

$W_{y}=\max _{d}{\frac {J}{d}}={\frac {J}{R_{ext}}}$

Donde R_ext es el radio exterior de la sección.

Otras secciones

Para secciones no-circulares no existe una relación sencilla entre el módulo de torsión y el momento resistente de torsión. El problema con secciones no-circulares presenta alabaeo y a diferencia de lo que sucede en una sección circular las tensiones no son proporcionales a la distancia al centro de la sección. Además las tensiones difieren según la dirección en la que nos separemos del centro al no ser todas la direcciones equivalentes.

Para algunas formas concretas como la sección triangular equilátera o la elíptica la función de alabeo es relativamente sencilla de obtener. Sin embargo, la expresión para una sección rectangular resulta bastante más complicado. Para secciones de pared delgada (tubo estructural o perfiles doble T) puede obtenerse una aproximación razonable a efectos de cálculo de forma muy sencilla. En la siguiente sección se dan expresiones para diferentes secciones.

Ejemplos

• Sección circular maciza de radio R:

$W_{T}={\frac {\pi R^{3}}{2}}$

• Sección circular hueca con radio exterior R_e y radio interior R_i:

$W_{T}={\frac {\pi }{2}}{\frac {R_{e}^{4}-R_{i}^{4}}{R_{e}}}$

• Sección elíptica maciza con semiejes a y b (a > b)

$W_{T}={\frac {\pi ab^{2}}{2}}$

• Sección triangular equilátera de lado L:

$W_{T}={\frac {L^{3}}{20}}$

• Sección rectangular maciza (b × a, a > b):

$W_{T}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}{\frac {b^{2}a}{3}}\qquad {\begin{cases}k_{1}=1-{\cfrac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {1}{(2k+1)^{2}}}\;{{\mbox{sech}}{\cfrac {(2k+1)\pi a}{2b}}}\\k_{2}=1-{\cfrac {192}{\pi ^{5}}}{\cfrac {b}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {1}{(2k+1)^{5}}}\;{{\mbox{tanh}}{\cfrac {(2k+1)\pi a}{2b}}}\end{cases}}$

Es importante notar que $0.6245966\leq {\frac {k_{2}}{k_{1}}}\leq 1$

• Sección cerrada de pared delgada, de espesor constante e y área media encerrada por la curva media de la sección A_m.

$W_{T}\approx 2eA_{m}\;$

• Sección abierta de pared delgada, como por ejemplo un perfil T o un pefil H (perfil doble T), aproximable mediante rectángulos alargados de largo h_i y espesores constantes e_i:

$W_{T}\approx {\frac {{\frac {1}{3}}\sum _{j}h_{j}e_{j}^{3}}{\max _{i}{e_{i}}}};$

Momento resistente plástico

En el cálculo plástico de la resistencia última de cierto tipo de estructuras, se admite que una sección esté totalmente plastificada. En caso de fallo por flexión simple, la tensión en es aproximadamente constante sobre la sección en el caso plástico, a diferencia del caso elástico donde las tensiones son proporcionales a la distancia a la fibra neutra. Esta diferente distrubición de las tensiones implica que el momento resistente efectivo es diferente en los dos casos, siendo en general el momento resistente plástico mayor que el momento resistente elástico.

Ejemplos

• Sección rectangular. Para una sección rectangular de dimensiones (base b × altura h), el momento resistente plástico mayor es un 50% superior al momento resistente elástico y viene dado por:

$W_{P,z}={\frac {bh^{2}}{4}}$

• Sección doble-T. Para una sección doble T el momento resistente plástico está entre un 15% a 17% superior al momento elástico. El momento plástico puede calcularde de modo aproximado mediante la siguiene expresión:

$W_{P,z}=be_{b}(h-e_{b})+{\frac {1}{4}}e_{h}(h-2e_{b})^{2}$

Donde:

$b,h\,$, son el ancho de las alas y el alto total del perfil.

$e_{b},e_{h}\,$, son los espesores de las alas y el alma del perfil.

• Sección circular maciza de radio R:

$W_{P,z}=W_{P,y}={\frac {4R^{3}}{3}}$

Referencia

Enlaces externos

• Deducción de varios momentos resistentes de torsión
• Deducción de momentos resistentes plásticos

Véase también

• flexión, torsión, viga.
• esfuerzo interno
• Segundo momento de inercia, Módulo de torsión.